@atcoder - AGC003F@ Fraction of Fractal

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给定一个 H*W 黑白格图，保证黑格四连通。

定义分形如下：0 级分形是一个 1*1 的黑格；通过将第 k 级分形中的白格替换成 H*W 的全白，黑格替换成题目所给的 H*W 格图得到第 k + 1 级分形。

求第 K 级分形中黑格的四连通块个数。

原题传送门。

@solution@

最好先特判 K = 0 的情况。

如果存在一行最左最右都是黑格，且存在一列最上最下都是黑格，则黑格始终形成 1 个连通块。

如果不存在一行最左最右都是黑格，且不存在一列最上最下都是黑格，则连通块个数每次都呈指数增长。

如果记 cnt = 原图中黑格数量，则 ans = cnt^K。

否则，我们讨论存在一行最左最右都是黑格（另一种情况同理）。

记 g(i, j) 表示 j 个 i 级分形拼成一行，黑格形成的连通块数量，我们可以在 g(i, ...) 与 g(i - 1, ...) 之间建立转移关系。

讨论每一行是否全为黑格。如果不是，求每一行最左边往右延伸的最长连续黑格，最右边往左延伸的最长连续黑格，中间那些不与最左/右边有关的黑格连续段，利用这些信息进行转移。

具体怎么转移比较复杂，此处不提。

但是注意到 g 的第二维可能超大。不妨猜测 g(i, j) = k(i)*j + b(i)，代入转移式发现成立。

于是就变成了 k(i), b(i) 与 k(i - 1), b(i - 1) 之间的转移。剩下的直接使用矩阵幂即可。

@accepted code@

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAXN = 1000;
const int MOD = int(1E9) + 7;

inline int add(int x, int y) {return (x + y >= MOD ? x + y - MOD : x + y);}
inline int sub(int x, int y) {return (x - y < 0 ? x - y + MOD : x - y);}
inline int mul(int x, int y) {return 1LL * x * y % MOD;}

int pow_mod(int b, ll p) {
	int ret = 1;
	for(ll i=p;i;i>>=1,b=mul(b,b))
		if( i & 1 ) ret = mul(ret, b);
	return ret;
}

struct matrix{
	int a[2][2];
	friend matrix operator * (matrix A, matrix B) {
		matrix C;
		C.a[0][0] = add(mul(A.a[0][0], B.a[0][0]), mul(A.a[0][1], B.a[1][0]));
		C.a[0][1] = add(mul(A.a[0][0], B.a[0][1]), mul(A.a[0][1], B.a[1][1]));
		C.a[1][0] = add(mul(A.a[1][0], B.a[0][0]), mul(A.a[1][1], B.a[1][0]));
		C.a[1][1] = add(mul(A.a[1][0], B.a[0][1]), mul(A.a[1][1], B.a[1][1]));
		return C;
	}
};

matrix mpow(matrix A, ll p) {
	matrix ret; ret.a[0][0] = ret.a[1][1] = 1, ret.a[0][1] = ret.a[1][0] = 0;
	for(ll i=p;i;i>>=1,A=A*A)
		if( i & 1 ) ret = ret*A;
	return ret;
}

int a, b[MAXN + 5], c[MAXN + 5], d[MAXN + 5];

char s[MAXN + 5][MAXN + 5], t[MAXN + 5][MAXN + 5];
int main() {
	int H, W; ll K; scanf("%d%d%lld", &H, &W, &K);
	for(int i=0;i<H;i++)
		scanf("%s", s[i]);
	if( K == 0 ) {
		puts("1");
		return 0;
	}
	bool f1 = false, f2 = false;
	for(int i=0;i<H;i++)
		if( s[i][0] == '#' && s[i][W-1] == '#' ) {
			f1 = true;
			break;
		}
	for(int i=0;i<W;i++)
		if( s[0][i] == '#' && s[H-1][i] == '#' ) {
			f2 = true;
			break;
		}
	if( f1 && f2 )
		puts("1");
	else if( (!f1) && (!f2) ) {
		int cnt = 0;
		for(int i=0;i<H;i++)
			for(int j=0;j<W;j++)
				cnt += (s[i][j] == '#');
		printf("%d\n", pow_mod(cnt, K - 1));
	}
	else {
		if( f2 ) {
			for(int i=0;i<H;i++)
				for(int j=0;j<W;j++)
					t[j][i] = s[i][j];
			swap(H, W);
			for(int i=0;i<H;i++)
				for(int j=0;j<W;j++)
					s[i][j] = t[i][j];
		}
		for(int i=0;i<H;i++) {
			bool flag = true;
			for(int j=0;j<W;j++)
				if( s[i][j] == '.' ) {
					flag = false;
					break;
				}
			if( flag ) a++;
			else {
				int l, r;
				for(int j=0;j<W;j++)
					if( s[i][j] == '.' ) {
						l = j;
						break;
					}
				for(int j=W-1;j>=0;j--)
					if( s[i][j] == '.' ) {
						r = j;
						break;
					}
				int lst = l;
				for(int j=l;j<=r;j++) {
					if( s[i][j] == '.' ) {
						if( lst != j ) b[j-lst]++;
						lst = j + 1;
					}
				}
				c[i] = l, d[i] = W - r - 1;
			}
		}
		matrix A;
		A.a[0][0] = mul(a, W), A.a[1][1] = a, A.a[0][1] = A.a[1][0] = 0;
		for(int j=1;j<=W;j++)
			A.a[0][0] = add(A.a[0][0], mul(b[j], j)), A.a[0][1] = add(A.a[0][1], b[j]);
		for(int j=0;j<H;j++) {
			if( c[j] ) A.a[1][0] = add(A.a[1][0], c[j]), A.a[1][1] = add(A.a[1][1], 1);
			if( d[j] ) A.a[1][0] = add(A.a[1][0], d[j]), A.a[1][1] = add(A.a[1][1], 1);
			if( c[j] + d[j] ) {
				A.a[0][0] = add(A.a[0][0], c[j] + d[j]), A.a[0][1] = add(A.a[0][1], 1);
				A.a[1][0] = sub(A.a[1][0], c[j] + d[j]), A.a[1][1] = sub(A.a[1][1], 1);
			}
		}
		A = mpow(A, K - 1);
		printf("%d\n", add(A.a[0][1], A.a[1][1]));
/*
		int x = 0, y = 1;
		for(int i=2;i<=K;i++) {
			int x1 = mul(a, mul(x, W)), y1 = mul(a, y);
			for(int j=1;j<=W;j++)
				x1 = add(x1, mul(b[j], add(mul(x, j), y))); // x1 += b[j]*(x*j + y)
			for(int j=0;j<H;j++) {
				if( c[j] ) y1 = add(y1, add(mul(x, c[j]), y)); // y1 += c[j]*x + y
				if( d[j] ) y1 = add(y1, add(mul(x, d[j]), y)); // y1 += d[j]*x + y
				if( c[j] + d[j] ) {
					x1 = add(x1, add(mul(x, c[j] + d[j]), y)); // x1 += (c[j]+d[j])*x + y
					y1 = sub(y1, add(mul(x, c[j] + d[j]), y)); // y1 -= (c[j]+d[j])*x + y
				}
			}
			x = x1, y = y1;
		}
		printf("%d\n", add(x, y));
*/
	}
}

@details@

感觉分形题真有意思。