NOIP初赛篇——09原码、反码和补码

一、数的原码、补码和反码表示

机器数和真值

​ 在计算机中，表示数值的数字符号只有0和1两个数码，我们规定最高位为符号位，并用0表示正符号，用1表示负符号。这样，机器中的数值和符号全“数码化”了。为简化机器中数据的运算操作，人们采用了源码、补码、反码及移码等几种方法对数值位和符号位统一进行编码。为区别起见，我们将数在计算机中的这些编码表示为机器数（如10000001），而将原来一般书写表示的数称为机器数的真值（如-0000001)。

原码表示法

原码表示法是一种简单的机器数表示法，即符号和数值表示法。设x为真值，则[x]原码为机器数表示。

例：设x=1100110，则[x]原=01100110。

x=-1100111,则[x]原=11100111。

反码表示法

正数的反码就是真值本身；负数的反码，只需对符号位以外的各位进行“求反”（0变1，1变0）即可。

例：设x=1100110,则[x]反=01100110；

x=-1100111,则[x]反=10011000。

补码表示法

负数用补码表示时，可以把减法转化成假发。整数的补码就是真值本身；负数的补码是符号位为1，数值各位取反（0变为1，1变为0），最低位加1。

例：设x=1100110,则[x]补=01100110;

x=-100111,则[x]补=10011001

​ 从上面关于原码、反码、补码的定义可知：一个正数的原码、反码、补码的表现形式相同，符号位为0，数值位是真值本身；一个负数的原码、反码、补码的符号位都为1，数值位原码是真值本身，反码是各位取反，补码是各位取反，最低位加1.真值0的原码和反码表示不唯一，而补码表示是唯一的，即：

​ [+0]原=000...0,[-0]原=100...0;

​ [+0]反=000...0,[-0]反=111···1;

​ [+0]补=[-0]补=000···0。

注：不同编码表示的整数的范围是这样的(以N位二进制位):

原码：0 ~ 2^n -1 （无符号位），-2^(n-1)-1 ~ 2^(n-1)-1有符号位

反码：-2^(n-1)-1 ~ 2^(n-1)-1不存在无符号情况

补码：-2^(n-1) ~ 2^(n-1)-1不存在无符号情况

​ 原码的特点是容易与真值转换，但做加减运算不太方便。反码弥补了原码加减运算的不足。例如：若X1=97，X2=-97，则X1+X2=0。利用二进制原码运算为：若[X1]原=01100001，[X2]原=11100001，则[X1]原+[X2]原为：

\[\begin{array}{lr}
&01100001\\
+&11100001\\
\hline
&01000010
\end{array}
\]

​ 将结果转换为十进制数就为66，结果显然错误。

​ 若利用反码进行计算，则[X1]反=01100001，[X2]反=10011110，则[X1]反+[X2]反为：

\[\begin{array}{lr}
&01100001\\
+&10011110\\
\hline
&11111111
\end{array}
\]

​ 再将此反码转换为原码，其结果为10000000，即-0.

​ 虽然反码解决了加减运算的问题，但是并没有解决0的两种表示的问题。

​ 补码不仅解决了加减运算的问题，而且0的表示也是唯一的。接着上述的例子，如果利用补码进行运算，[X1]补=01100001，[X2]补=10011111，则[X1]补+[X2]补为：

\[\begin {array}{\r}
&01100001\\
+&10011111\\
\hline
=&00000000
\end{array}
\]

​ 该结果为0，并且没有+0和-0之分。

​ 补码比原码、反码所能表示的范围略宽，1字节（8位）的有符号整数能表示的范围为-128 ~ 127，而原码和反码都只能表示-127 ~ 127，所以补码目前被广泛应用于计算机的数值表示中。

数的定点表示和浮点表示

​ 在计算机中，小数点一般有两种表示方式：一种是小数点固定在某一位置的定点表示法；另一种是小数点的位置可任意移动的浮点表示法。相应于这两种表示的计算机分别称为定点计算机和浮点计算机。

定点表示法

​ 机器中所有数的小数点位置是固定不变的，因而小数点就不必使用记号表示出来。实际上，小数点课固定在任意一个位置上。

浮点表示法

​ 在数的定点表示法中，由于数的表示范围较窄，常常不能满足各种数值问题的需要。为了扩大数的表示范围，方便用户使用，有些计算机采用浮点表示法。表示一个浮点数，要用两部分：尾数和阶码。尾数用以表示数的有效数值；阶码用以表示小数点在该数中的位置。

​ 计算机多数情况下采用浮点数表示数值，它与科学计数法相似，把一个二进制数通过移动小数点位置表示称为阶码和尾数两部分：

\[N=2^e \times S
\]

​ 其中：E为N的阶码（Expeont），是有符号的整数；S为N的尾数（Mantissa），是数值的有效数字部分，一般规定取二进制定点纯小数形式。

例：1011101

\[B=2^{+7} \times 0.1011101
\]

,

101.1101

\[B=2^{+3} \times 0.1011101
\]

,

0.01011101

\[B=2^{-1}\times 0.1011101
\]

。