剑指 Offer 56 - I. 数组中数字出现的次数

题目描述

一个整型数组 nums 里除两个数字之外，其他数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是\(O(n)\)，空间复杂度是\(O(1)\)。

示例1：

输入：nums = [4,1,4,6]
输出：[1,6] 或 [6,1]

示例2：

输入：nums = [1,2,10,4,1,4,3,3]
输出：[2,10] 或 [10,2]

限制：

2 <= nums.length <= 10000

来源：力扣（LeetCode）

链接：https://leetcode-cn.com/problems/shu-zu-zhong-shu-zi-chu-xian-de-ci-shu-lcof

代码实现

class Solution {
public:
    vector<int> singleNumbers(vector<int>& nums) {
        int diff = 0;
        for(auto nt = nums.begin(); nt != nums.end(); nt++)
            diff ^= (*nt);
        int flag = diff & (-diff);
        vector<int> result(2, 0);
        for(auto nt = nums.begin(); nt != nums.end(); nt++) {
            if((*nt) & flag)
                result[0] ^= (*nt);
            else
                result[1] ^= (*nt);
        }
        return result;
    }
};

思路解析

• 题目的重点是要时间复杂度\(O(n)\)，空间复杂度\(O(1)\)，考虑位运算的方式；
• 基本的位运算逻辑：
  

  • 使用逻辑异或(\(\oplus\))来区分未成对出现的数字
    
    \(0 \oplus 0 = 0\)，\(0 \oplus 1 = 1\)；
  • 逻辑异或(\(\oplus\))运算满足结合律和交换律；
    
    因此，对所有的数字进行异或运算，由于只有两个数字（假设为\(a\)和\(b\)）未重复出现，则异或运算的结果是\(a\oplus b\)。
    
    \(a_1 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_2 \oplus \cdots a_n \oplus a_n \oplus k = k\)

• 得到\(a\oplus b\)后，我们需要想一个办法来将nums分组，考虑所有的数字都可以用二进制表示，则可根据某一位是\(0\)或\(1\)来对nums进行分组，且要保证\(a\)和\(b\)不在同组，采用的分组方式如下：
  

  • 在计算机中，整形数字采用补码的形式表示，正数的补码等于其原码，负数的补码等于其反码+1，以8位int类型为例：
    
    int s = 8，原码00000100，反码00000100，补码00000100

int s =-8，原码10000100，反码11111011，补码11111100
  • 可知：s & (-s) = 00000100，仅有1位数字为\(1\)（s的最低位\(1\)），且s本身的该位数字也为1，可利用这一特性，对原数组nums进行分类。
  • 如何确保\(a\)和\(b\)不在同一分组？
    
    已知\(d = a\oplus b\)，则\(d\)的最低位\(1\)一定可以区分\(a\)和\(b\)（异或运算的定义）
    
    则根据\(d\)的某一位\(1\)对原数组进行分组，必定可保证\(a\)和\(b\)不同组。

• 分组之后的事情就简单了，由于异或运算满足结合律和交换律，且相同的数字一定被分在的同一组，而\(a\)和\(b\)不同组，对每一组分别进行异或运算，最后两组得到的结果就分别是\(a\)和\(b\)。