求N!末尾的0的个数(找规律+递归)
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题目描写叙述
输入
输出
演示样例输入
3
1
5
10
演示样例输出
0
1
2
提示
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数,则有:
当0 < n < 5时,f(n!) = 0;
当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 当中 k = n / 5(取整)。
问题分析
显然,对于阶乘这个大数,我们不可能将其结果计算出来,再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。以下我们从因式分解的角度切入分析。
我们先考虑一般的情形。对于随意一个正整数,若对其进行因式分解,那么其末尾的“0”必能够分解为2*5。在这里,每个“0”必定和一个因子“5”相相应。但请注意,一个数的因式分解中因子“5”不一定相应着一个“0”,由于还须要一个因子“2”,才干实现其一一相应。
我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论:
结论1: 对于n的阶乘n!,其因式分解中,假设存在一个因子“5”,那么它必定相应着n!末尾的一个“0”。
以下对这个结论进行证明:
(1)当n < 5时, 结论显然成立。
(2)当n >= 5时,令n!= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a,当中 n = 5k + r (0 <= r <= 4),a是一个不含因子“5”的整数。
对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每个数5i(1 <= i <= k),都含有因子“5”,而且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数,也就是说,a中存在一个因子“2”与5i相相应。即,这里的k个因子“5”与n!末尾的k个“0”一一相应。
我们进一步把n!表示为:n!= 5^k * k! * a(公式1),当中5^k表示5的k次方。非常easy利用(1)和迭代法,得出结论1。
上面证明了n的阶乘n!末尾的“0”与n!的因式分解中的因子“5”是一一相应的。也就是说,计算n的阶乘n!末尾的“0”的个数,能够转换为计算其因式分解中“5”的个数。
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数,则利用上面的的结论1和公式1有:
f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
所以,终于的计算公式为:
当0 < n < 5时,f(n!) = 0;
当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 当中 k = n / 5(取整)。
计算举例
f(5!) = 1 + f(1!) = 1
f(10!) = 2 + f(2!) = 2
f(20!) = 4 + f(4!) = 4
f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <cstdio>
#include <cctype>
using namespace std;
int cal(int n)
{
if(n<5) return 0;
else
{
n/=5;
return n+cal(n);
}
}
int main()
{
int n,T;
cin>>T;
while(T--)
{
cin>>n;
cout<<cal(n)<<endl;
}
return 0;
}
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