康复计划#4 快速构造支配树的Lengauer-Tarjan算法

　　本篇口胡写给我自己这样的老是证错东西的口胡选手以及那些想学支配树，又不想啃论文原文的人…

　　大概会讲的东西是求支配树时需要用到的一些性质，以及构造支配树的算法实现…

　　最后讲一下把只有路径压缩的并查集卡到$O(m \log n)$上界的办法作为小彩蛋…

1、基本介绍支配树 DominatorTree

　　对于一个流程图（单源有向图）上的每个点$w$，都存在点$d$满足去掉$d$之后起点无法到达$w$，我们称作$d$支配$w$，$d$是$w$的一个支配点。

　　支配$w$的点可以有多个，但是至少会有一个。显然，对于起点以外的点，它们都有两个平凡的支配点，一个是自己，一个是起点。

　　在支配$w$的点中，如果一个支配点$i \neq w$满足$i$被$w$剩下的所有非平凡支配点支配，则这个$i$称作$w$的最近支配点(immediate dominator)，记作$idom(w)$。

　　定理1：我们把图的起点称作$r$，除$r$以外每个点均存在唯一的$idom$。

　　这个的证明很简单：如果$a$支配$b$且$b$支配$c$，则$a$一定支配$c$，因为到达$c$的路径都经过了$b$所以必须经过$a$；如果$b$支配$c$且$a$支配$c$，则$a$支配$b$（或者$b$支配$a$），否则存在从$r$到$b$再到$c$的路径绕过$a$，与$a$支配$c$矛盾。这就意味着支配定义了点$w$的支配点集合上的一个全序关系，所以一定可以找到一个“最小”的元素使得所有元素都支配它。

　　于是，连上所有$r$以外的$idom(w) \to w$的边，就能得到一棵树，其中每个点支配它子树中的所有点，它就是支配树。

　　支配树有很多食用…哦不…是实际用途。比如它展示了一个信息传递网络的关键点，如果一个点支配了很多点，那么这个点的传递效率和稳定性要求都会很高。比如Java的内存分析工具(Memory Analyzer Tool)里面就可以查看对象间引用关系的支配树…很多分析上支配树都是一个重要的参考。

　　为了能够求出支配树，我们下面来介绍一下需要用到的基本性质。

2、支配树相关性质

　　首先，我们会使用一棵DFS树来帮助我们计算。从起点出发进行DFS就可以得到一棵DFS树。

　　观察上面这幅图，我们可以注意到原图中的边被分为了几类。在DFS树上出现的边称作树边，剩下的边称为非树边。非树边也可以分为几类，从祖先指向后代（前向边），从后代指向祖先（后向边），从一棵子树內指向另一棵子树内（横叉边）。树边是我们非常熟悉的，所以着重考虑一下非树边。

　　我们按照DFS到的先后顺序给点从小到大编号（在下面的内容中我们通过这个比较两个节点），那么前向边总是由编号小的指向编号大的，后向边总是由大指向小，横叉边也总是由大指向小。现在在DFS树上我们要证明一些重要的引理：

　　引理1（路径引理）：

　　　　如果两个点$v,w$满足$v \leq w$，那么任意$v$到$w$的路径经过$v,w$的公共祖先。（注意这里不是说LCA）

　　证明：

　　　　如果$v,w$其中一个是另一个的祖先显然成立。否则删掉起点到LCA路径上的所有点（这些点是$v,w$的公共祖先），那么$v$和$w$在两棵子树内，并且因为公共祖先被删去，无法通过后向边到达子树外面，前向边也无法跨越子树，而横叉边只能从大到小，所以从$v$出发不能离开这颗子树到达$w$。所以如果本来$v$能够到达$w$，就说明这些路径必须经过$v,w$的公共祖先。

　　在继续之前，我们先约定一些记号：

　　$V$代表图的点集，$E$代表图的边集。

　　$a \to b$代表从点$a$直接经过一条边到达点$b$，

　　$a \leadsto b$代表从点$a$经过某条路径到达点$b$，

　　$a \dot \to b$代表从点$a$经过DFS树上的树边到达点$b$（$a$是$b$在DFS树上的祖先），

　　$a \overset{+}{\to} b$代表$a \dot \to b$且$a \neq b$。

　　定义半支配点(semi-dominator)：

　　　　对于$w \neq r$，它的半支配点定义为$sdom(w)=\min\{ v | \exists (v_0,v_1,\cdots,v_{k-1},v_k), v_0 = v, v_k = w, \forall 1 \leq i \leq k-1, v_i>w \}$

　　对于这个定义的理解其实就是从$v$出发，绕过$w$之前的所有点到达$w$。（只能以它之后的点作为落脚点）

　　注意这只是个辅助定义，并不是真正的支配点。甚至在只保留$w$和$w$以前的点时它都不一定是支配点。例子：$V = \{1,2,3,4\}, E = \{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4)\}, r = 1, sdom(4) = 2$，但是$2$不支配$4$。不过它代表了有潜力成为支配点的点，在后面我们可以看到，所有的$idom$都来自自己或者另一个点的$sdom$。

　　引理2

　　　　对于任意$w \neq r$，有$idom(w) \overset{+}{\to} w$。

　　证明很显然，如果不是这样的话就可以直接通过树边不经过$idom(w)$就到达$w$了，与$idom$定义矛盾。

　　引理3

　　　　对于任意$w \neq r$，有$sdom(w) \overset{+}{\to} w$。

　　证明：

　　　　对于$w$在DFS树上的父亲$fa_w$，$fa_w \to w$这条路径只有两个点，所以满足$sdom$定义中的条件，于是它是$sdom(w)$的一个候选。所以$sdom(w) \leq fa_w$。在这里我们就可以使用路径引理证明$sdom(w)$不可能在另一棵子树，因为如果是那样的话就会经过$sdom(w)$和$w$的一个公共祖先，公共祖先的编号一定小于$w$，所以不可行。于是$sdom(w)$就是$w$的真祖先。

　　引理4

　　　　对于任意$w \neq r$，有$idom(w) \dot \to sdom(w)$。

　　证明：

　　　　如果不是这样的话，按照$sdom$的定义，就会有一条路径是$r \dot \to sdom(w) \leadsto w$不经过$idom(w)$了，与$idom$定义矛盾。

　　引理5

　　　　对于满足$v \dot \to w$的点$v,w$，$v \dot \to idom(w)$或$idom(w) \dot \to idom(v)$。

　　（不严谨地说就是$idom(w)$到$w$的路径不相交或者被完全包含，其实$idom(w)$这个位置是可能相交的）

　　证明：

　　　　如果不是这样的话，就是$idom(v) \overset{+}{\to} idom(w) \overset{+}{\to} v \overset{+}{\to} w$，那么存在路径$r \dot \to idom(v) \leadsto v \overset{+}{\to}w$不经过$idom(w)$到达了$w$（因为$idom(w)$是$idom(v)$的真后代，一定不支配$v$，所以存在绕过$idom(w)$到达$v$的路径），矛盾。

　　上面这5条引理都比较简单，不过是非常重要的性质。接下来我们要证明几个定理，它们揭示了$idom$与$sdom$的关系。证明可能会比上面的复杂一点。

　　定理2

　　　　对于任意$w \neq r$，如果所有满足$sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w$的$u$也满足$sdom(u) \geq sdom(w)$，那么$idom(w) = sdom(w)$。

　　$$ sdom(w) \dot \to sdom(u) \overset{+}{\to} u \dot \to w $$

　　证明：

　　　　由上面的引理4知道$idom(w) \dot \to sdom(w)$，所以只要证明$sdom(w)$支配$w$就可以保证是最近支配点了。对任意$r$到$w$的路径，取上面最后一个编号小于$sdom(w)$的$x$（如果$sdom$就是$r$的话显然定理成立），它必然有个后继$y$满足$sdom(w) \dot \to y \dot \to w$（否则$x$会变成$sdom(w)$），我们取最小的那个$y$。同时，如果$y$不是$sdom(w)$，根据条件，$sdom(y) \geq sdom(w)$，所以$x$不可能是$sdom(y)$，这就意味着$x$到$y$的路径上一定有一个$v$满足$x \overset{+}{\to} v \overset{+}{\to} y$，因为$x$是小于$sdom(w)$的最后一个，所以$v$也满足$sdom(w) \dot \to v \dot \to w$，但是我们取的$y$已经是最小的一个了，矛盾。于是$y$只能是$sdom(w)$，那么我们就证明了对于任意路径都要经过$sdom(w)$，所以$sdom(w)$就是$idom(w)$。

　　定理3

　　　　对于任意$w \neq r$，令$u$为所有满足$sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w$的$u$中$sdom(u)$最小的一个，那么$sdom(u) \leq sdom(w) \Rightarrow idom(w) = idom(u)$。

　　$$ sdom(u) \dot \to sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w $$

　　证明：

　　　　由引理5，有$idom(w) \dot \to idom(u)$或$u \dot \to idom(w)$，由引理4排除后面这种。所以只要证明$idom(u)$支配$w$即可。类似定理2的证明，我们取任意$r$到$w$路径上最后一个小于$idom(u)$的$x$（如果$idom(u)$是$r$的话显然定理成立），路径上必然有个后继$y$满足$idom(u) \dot \to y \dot \to w$（否则$x$会变成$sdom(w)$），我们取最小的一个$y$。类似上面的证明，我们知道$x$到$y$的路径上不能有点$v$满足$idom(u) \dot \to v \overset{+}{\to} y$，于是$x$成为$sdom(y)$的候选，所以$sdom(y) \leq x$。那么根据条件我们也知道了$y$不能是$sdom(w)$的真后代，于是$y$满足$idom(u) \dot \to y \dot \to sdom(w)$。但是我们注意到因为$sdom(y) \leq x$，存在一条路径$r \dot \to sdom(y) \leadsto y \dot \to u$，如果$y$不是$idom(u)$的话这就是一条绕过$idom(u)$的到$u$的路径，矛盾，所以$y$必定是$idom(u)$。所以任意到$w$的路径都经过$idom(u)$，所以$idom(w)=idom(u)$ 。

　　幸苦地完成了上面两个定理的证明，我们就能够通过$sdom$求出$idom$了：

　　推论1

　　　　对于$w \neq r$，令$u$为所有满足$sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w$的$u$中$sdom(u)$最小的一个，有

　　　　$$ idom(w) = \left \{ \begin{aligned}& sdom(w)&(sdom(u)=sdom(w))&\\ &idom(u)&(sdom(u)<sdom(w))&\end{aligned} \right .$$

　　通过定理2和定理3可以直接得到。这里一定有$sdom(u) \leq sdom(w)$，因为$w$也是$u$的候选。

　　接下来我们的问题是，直接通过定义计算$sdom$很低效，我们需要更加高效的方法，所以我们证明下面这个定理：

　　定理4

　　　　对于任意$w \neq r$，$sdom(w) = min(\{v | (v, w) \in E , v < w \} \cup \{sdom(u) | u > w , \exists (v, w) \in E , u \dot \to v\} )$

　　证明：

　　　　令等号右侧为$x$，显然右侧的点集中都存在路径绕过$w$之前的点，所以$sdom(w) \leq x$。然后我们考虑$sdom(w)$到$w$的绕过$w$之前的点的路径，如果只有一条边，那么必定满足$(sdom(w),w) \in E$且$sdom(w)<w$，所以此时$x \leq sdom(w)$；如果多于一条边，令路径上$w$的上一个点为$last$，我们取路径上除两端外满足$p \dot \to last$的最小的$p$（一定能取得这样的$p$，因为$last$是$p$的候选）。因为这个$p$是最小的，所以$sdom(w)$到$p$的路径必定绕过了$p$之前的所有点，于是$sdom(w)$是$sdom(p)$的候选，所以$sdom(p) \leq sdom(w)$。同时，$sdom(p)$还满足右侧的条件（$p$在绕过$w$之前的点的路径上，于是$p>w$，并且$p\dot \to last$，同时$last$直接连到了$w$），所以$sdom(p)$是$x$的候选，$x \leq sdom(p)$。所以$x \leq sdom(p) \leq sdom(w)$，$x \leq sdom(w)$。综上，$sdom(w) \leq x$且$x \leq sdom(w)$，所以$x=sdom(w)$。

　　好啦，最困难的步骤已经完成了，我们得到了$sdom$的一个替代定义，而且这个定义里面的形式要简单得多。这种基本的树上操作我们是非常熟悉的，所以没有什么好担心的了。接下来就可以给出我们需要的算法了。

3、Lengauer-Tarjan算法

算法流程：

　　1、初始化、跑一遍DFS得到DFS树和标号
　　2、按标号从大到小求出$sdom$（利用定理4）
　　3、通过推论1求出所有能确定的$idom$，剩下的点记录下和哪个点的$idom$是相同的
　　4、按照标号从小到大再跑一次，得到所有点的$idom$

　　很简单对不对~有了理论基础后算法就很显然了。

具体实现：

　　大致要维护的东西：
　　$vertex(x)$ 标号为$x$的点$u$
　　$pred(u)$ 有边直接连到$u$的点集
　　$parent(u)$ $u$在DFS树上的父亲$fa_u$
　　$bucket(u)$ $sdom$为点$u$的点集
　　以及$idom$和$sdom$数组

　　第1步没什么特别的，规规矩矩地DFS一次即可，同时初始化$sdom$为自己（这是为了实现方便）。

　　第2、3步可以一起做。通过一个辅助数据结构维护一个森林，支持加入一条边($link(u,v)$)和查询点到根路径上的点的$sdom$的最小值对应的点($eval(u)$)。那么我们求每个点的$sdom$只需要对它的所有直接前驱$eval$一次，求得前驱中的$sdom$最小值即可。因为定理4中的第一类点编号比它小，它们还没有处理过，所以自己就是根，$eval$就能取得它们的值；对于第二类点，$eval$查询的就是满足$u \dot \to v$的$u$的$sdom(u)$的最小值。所以这么做和定理4是一致的。

　　然后把该点加入它的$sdom$的$bucket$里，连上它与父亲的边。现在它父亲到它的这棵子树中已经处理完了，所以可以对父亲的$bucket$里的每个点求一次$sdom$并且清空$bucket$。对于$bucket$里的每个点$v$，求出$eval(v)$，此时$parent(w) \overset{+}{\to} eval(v) \dot \to v$，于是直接按照推论1，如果$sdom(eval(v))=sdom(v)$，则$idom(v)=sdom(v)=parent(w)$；否则可以记下$idom(v)=idom(eval(v))$，实现时我们可以写成$idom(v)=eval(v)$，留到第4步处理。
　　最后从小到大扫一遍完成第4步，对于每个$u$，如果$idom(u)=sdom(u)$的话，就已经是第3步求出的正确的$idom$了，否则就证明这是第3步留下的待处理点，令$idom(u)=idom(idom(u))$即可。

　　对于这个辅助数据结构，我们可以选择并查集。不过因为我们需要查询到根路径上的信息，所以不方便写按秩合并，但是我们仍然可以路径压缩，压缩时保留路径上的最值就可以了，所以并查集操作的复杂度是$O(\log n)$。这样做的话，最终的复杂度是$O(n \log n)$。（各种常见方法优化的并查集只要没有按秩合并就是做不到$\alpha$的复杂度的，最下面我会提到如何卡路径压缩）

　　原论文还提到了一个比较奥妙的实现方法，能够把这个并查集优化到$\alpha$的复杂度，不过看上去比较迷，我觉得我会写错，所以就先放着了，如果有兴趣的话可以找原论文A Fast Algorithm for Finding Dominators in a Flowgraph，里面的参考文献14是Tarjan的另一篇东西Applications of Path Compression on Balanced Trees，原论文说用的是这里面的方法…等什么时候无聊想要真正地学习并查集的各种东西的时候再看吧…（我又挖了个大坑）

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline int read()

{

	int s = ; char c; while((c=getchar())<'0'||c>'9');

	do{s=s*+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');

	return s;

}

const int N = ;

struct eg{ int dt,nx; }e[N];

int n,m,tim,tot;

int h[N],iw[N],li[N],fa[N],sdom[N],idom[N];

int fo[N],vo[N];

vector<int> pre[N],bkt[N];

int findf(int p)

{

	if(fo[p]==p) return p;

	int r = findf(fo[p]);

	if(sdom[vo[fo[p]]]<sdom[vo[p]]) vo[p] = vo[fo[p]];

	return fo[p] = r;

}

inline int eval(int p)

{

	findf(p);

	return vo[p];

}

void dfs(int p)

{

	li[iw[p]=++tim] = p, sdom[p] = iw[p];

	for(int pt=h[p];pt;pt=e[pt].nx) if(!iw[e[pt].dt])

		dfs(e[pt].dt), fa[e[pt].dt] = p;

}

void work()

{

	int i,p;

	dfs();

	for(i=tim;i>=;i--)

	{

		p = li[i];

		for(int k : pre[p]) if(iw[k]) sdom[p] = min(sdom[p],sdom[eval(k)]);

		bkt[li[sdom[p]]].push_back(p);

		int fp = fa[p]; fo[p] = fa[p];

		for(int v : bkt[fp])

		{

			int u = eval(v);

			idom[v] = sdom[u]==sdom[v]?fp:u;

		}

		bkt[fp].clear();

	}

	for(i=;i<=tim;i++) p = li[i], idom[p] = idom[p]==li[sdom[p]]?idom[p]:idom[idom[p]];

	for(i=;i<=tim;i++) p = li[i], sdom[p] = li[sdom[p]];

}

inline void link(int a,int b)

{

	e[++tot].dt = b, e[tot].nx = h[a], h[a] = tot;

	pre[b].push_back(a);

}

int main()

{

#ifndef ONLINE_JUDGE

	freopen("in.txt","r",stdin);

#endif

	int i;

	n = read(), m = read();

	tim = tot = ;

	for(i=;i<=n;i++) h[i] = iw[i] = , fo[i] = vo[i] = i, pre[i].clear(), bkt[i].clear();

	for(i=;i<=m;i++){ int a = read(); link(a,read()); }

	work();

	return ;

}

　　我的变量名都很迷…不要在意…（它们可是经过了长时间的结合中文+英文+象形+脑洞的演变得出的结果）

　　稍微需要注意一下的就是实现时点的真实编号和DFS序中的编号的区别，DFS序的编号是用来比较的那个。以及尽量要保持一致性（要么都用真实编号，要么都用DFS序编号），否则很容易写错…我的这段代码里$idom$用的是真实编号，$sdom$用的是DFS序编号，最后再跑一次把$sdom$转成真实编号的。

4、欢快的彩蛋卡并查集！

　　是不是听到周围有人说：“我的并查集只写了路径压缩，它是单次操作$\alpha$的”。这时你要坚定你的信念，你要相信这是$O(\log n)$的。如果他告诉你这个卡不了的话…你或许会觉得确实很难卡…我也觉得很难卡…但是Tarjan总知道怎么卡。

　　现在确认一下纯路径压缩并查集的实现方法：每次基本操作$find(v)$后都把$v$到根路径上的所有点直接接在根的下面，每次合并操作对需要合并的两个点执行$find$找到它们的根。

　　看起来挺优的。（其实真的挺优的，只是没有$\alpha$那么优）

　　Tarjan的卡法基于一种特殊定义的二项树（和一般的二项树的定义不同）。

　　定义这种特殊的二项树$T_k$为一类多叉树，其中$T_1,T_2,\cdots,T_j$都是一个单独的点，对于$T_k, k>j$，$T_k$就是$T_{k-1}$再接上一个$T_{k-j}$作为它的儿子。

　　就像这样。这种定义有一个有趣的特性，如果我们把它继续展开，可以得到各种有趣的结果。比如我们把上面图中的$T_{k-j}$继续展开，就会变成$T_{k-j-1}$接着$T_{k-2j}$，以此类推可以展开出一串。而如果对$T_{k-1}$继续展开，父节点就会变成$T_{k-2}$，子节点多出一个$T_{k-j-1}$，以此类推可以展开成一层树。下面的图展示了展开$T_k$的不同方式。

　　让我们好好考虑一下这意味着什么。从图4到图5…除了这些树的编号没有对应上以外，会不会有一种感觉，图5像是图4路径压缩后的结果。

　　图4的展开方式中编号的间隔都是$j$，图5的展开方式中间隔都是$1$…那么如果我们用图5的方式展开出$j$棵子树，再按图4展开会怎么样呢？（假设$j$整除$k$）

　　变成了这个样子，就确实和路径压缩扯上关系了。如果在最顶上再加一个点，然后$j$次访问底层的$T_1,T_2,\cdots,T_j$，就可以把树压成图5的样子了，不过会多一个单点的儿子出来，因为图6中其实有两个$T_j$（因为图4展开到最后一层没有了$-1$，所以会和上一层出现一次重复）。这么一来，我们又可以做一次这一系列操作了，非常神奇！（原论文里把这个叫做self-reproduction）至于$T_k$的实际点数，通过归纳法可以得到点数不超过$(j+1)^{\frac{k}{j}-1}$。（我们只对能被$j$整除的$k$进行计算，每次$j$次展开父节点进行归纳）

　　有了这个我们就有信心卡纯路径压缩并查集了。令$m$代表询问操作数，$n$代表合并操作数，不妨设$m \geq n$，我们取$j=\left \lfloor \frac{m}{n} \right \rfloor, i=\left \lfloor \log_{j+1}\frac{n}{2} \right \rfloor +1, k = ij$。那么$T_k$的大小不超过$(j+1)^{i-1}$即$\frac{n}{2}$。接下来我们做$\frac{n}{2}$组操作，每组在最顶上加入一个点，然后对底层的$j$个节点逐一查询，每次查询的路径长度都是$i+1$。同时总共的查询次数还是不超过$m$。于是总共的复杂度是$\frac{n}{2}j(i+1)=\Omega(m \log_{1+m/n} n)$。

　　Boom~爆炸了，所以它确实是$\log$级的。

　　彩蛋到这里就结束啦…如果想知道更多并查集优化方法怎么卡，可以去看这一部分参考的原论文Worst-Case Analysis of Set Union Algorithms，里面还附带了一个表，有写各种并查集实现不带按秩合并和带按秩合并的复杂度，嗯，卡并查集还是挺有趣的（只是一般人想不到呀…Tarjan太强辣）…

　　（题外话：这次我画了好多图，感觉自己好良心呀w 其实都是对着论文上的例子画的）