SDF Line相关公式推导

SDF Line相关公式推导

线段是SDF形状的基元之一，可以被用来建模一些形状，比如昆虫的腿，植物的根茎等。

下面这篇文章介绍一下Line公式的推导，首先记住我们要求的变量，点到形状最近的距离。

那么对于空间中的点\(P_1, P_2, P_3\)，他们的分布有如下三种

其中\(P_1\)到线段的距离是\(|\vec{P_1Q}|\)，\(P_2\)到线段的距离是\(|\vec{P_2A|}\)，\(P_3\)到线段的距离是\(|\vec{P_3B}|。我们先看\) \(|\vec{P_1Q}|\)的求法，

其实本质是一个向量在另一个向量上的投影长度，此处借用云飞Ran的推导过程：

这里我们采用第二种方法，因此定义向量，\(\vec{BA},\vec{ BP_1}\)，然后使用如下公式便可以求出\(\vec{BQ}\)的长度。

\[|\vec{BQ}| = {\vec{BP_1} \cdot \vec{BA}\over |\vec{BA}| }
\]

此时投影长度的比例可以定义为：

\[|\vec{BQ}| = {\vec{BP_1} \cdot \vec{BA}\over |\vec{BA}|^2 }
\]

熟悉这个求解投影长度的代码之后，在看一下另外两个点\(P_2, P_3\)我们会发现一个投影长度占BA的比例小于0，另一个大于1。

熟悉完上面的内容之后，我们就可以看一下SDF Line的实现了：

// Original SDF line segment function
float sdSegmentRegular( in vec2 p, in vec2 a, in vec2 b)
{
  vec2 bp = b-p, ba = b-a; //求解向量
  float h = clamp( dot(bp,ba)/dot(ba,ba), 0.0, 1.0 );
  return length(bp - ba*h );
}                            

void SDFLine(in vec2 p, in vec2 a, in vec2 b,  in float r, out float sdf) {
  sdf = sdSegmentRegular(p, a, b, r);
}

float h = clamp( dot(bp,ba)/dot(ba,ba), 0.0, 1.0 );

这段代码巧妙的地方在于通过这行代码统一了三种分布的点，当p在a，b点的左侧时，h = 1，此时求得是向量\(\vec{bp}-\vec{ba}\)也就是\(\vec{ap}\)的长度，这里大致如图:

但是这段代码运行起来是看不到任何东西的，我们还需要减去一个 width，才能得到LineSegment；

// Original SDF line segment function
float sdSegmentRegular( in vec2 p, in vec2 a, in vec2 b, in float r )
{
  vec2 bp = b-p, ba = b-a;
  float h = clamp( dot(bp,ba)/dot(ba,ba), 0.0, 1.0 );
  return length( bp - ba*h ) - r;
}                            

void SDFLine(in vec2 p, in vec2 a, in vec2 b,  in float r, out float sdf) {
  sdf = sdSegmentRegular(p, a, b, r);
}

具体的原理我们可以看一下这篇博客的圆角矩形小节。此处就不再赘述啦。

refer

• https://inspirnathan.com/posts/51-shadertoy-tutorial-part-5#using-the-sdsegment-sdf

• https://www.youtube.com/watch?v=PMltMdi1Wzg

• https://blog.csdn.net/qq_35975685/article/details/91152718