[ARC 058 - E]Iroha and Haiku

解题步骤

首先可以发现题目范围非常小，尤其是$X,Y,Z$，所以考虑类似状压、数位dp、双向搜索等算法。

官方题解中给的是数位dp，那我这里就讲讲状压了

对于$N \leq 40$，很明显不能对其进行状压并且没意义，那么对于$X,Y,Z$呢？因为题目要求连续一段数满足要求，且$X+Y+Z \leq 17,a_i \geq 1$，故只用考虑连续一段长度不超过17的的区间是否满足要求即可。

但是对于具体数值怎么状压呢？我们发现因为和不超过$X+Y+Z$,所以我们可以对当前第$i$位前一段和不超过$X+Y+Z$的区间的每一个数$a_j$通过$2^{a_j}$表示，同时按顺序依次乘$2^{a_i}$，如此既没改变相对顺序，又表示出数值，实现如下：

int tot = (1 << X + Y + Z) - 1;

int s = ((msk << j) | (1 << j - 1)) & tot;

/*

tot为全集

j为枚举当前位填入的元素

msk即为前一个状态元素集合

s则为加上当前元素j后的元素集合

*/

到这里，状压思路已经很清晰了，最后一个难点为判定满足条件。因为我们对于状压状态，发现一段前缀的和在不断位移的操作下变成了某一个元素在$msk$对应的单个$1$，故目标可表示为(1<<X-1)|(1<<X+Y-1)|(1<<X+Y+Z-1)，对于当前集合判断包不包含目标集合，如果包含，满足条件，反之不满足。

int targ = (1 << X - 1) | (1 << X + Y - 1) | (1 << X + Y + Z - 1), tot = (1 << X + Y + Z) - 1;

int s = ((msk << j) | (1 << j - 1)) & tot;

if ((s & targ) != targ)

    dp[i][s] = (dp[i][s] + dp[i - 1][msk]) % mod;

/*

targ为目标集合

dp[i][msk]表示考虑第i位，前一段和不超过X+Y+Z的区间为msk的情况下，有多少种情况不满足条件

*/

最后做个解释，为什么dp[i][msk]要表示不满足条件的区间。因为对于初始状态，不满足条件的区间都由dp[0][0]演化而来，而满足条件的区间千变万化，可以从很多种情况转移，不好把握。

最终实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 45, TN = 17;

const LL mod = 1e9 + 7;

LL dp[N][1 << TN];

int X, Y, Z, n;

LL ans;

inline LL power(LL a, LL k) //可要可不要，直接O(N)把ans乘一遍也只是40

{

    LL ret = 1;

    while (k)

    {

        if (k & 1)

            ret = ret * a % mod;

        a = a * a % mod;

        k >>= 1;

    }

    return ret;

}

int main()

{

    scanf("%d%d%d%d", &n, &X, &Y, &Z);

    dp[0][0] = 1;

    ans = power(10ll, n);

    int targ = (1 << X - 1) | (1 << X + Y - 1) | (1 << X + Y + Z - 1), tot = (1 << X + Y + Z) - 1;

    //targ:目标集合 tot:全集

    for (int i = 1; i <= n; i++)

        for (int msk = 0; msk <= tot; msk++)

            for (int j = 1; j <= 10; j++)

            {

                int s = ((msk << j) | (1 << j - 1)) & tot;

                //加入当前元素后集合

                if ((s & targ) != targ) //不满足条件

                    dp[i][s] = (dp[i][s] + dp[i - 1][msk]) % mod;

            }

    //dp第一层循环一定是1~n，因为第i位是该dp的一个阶段，所有第i层的状态都依赖于上一层

    for (int msk = 0; msk <= tot; msk++)

        ans = (ans - dp[n][msk] + mod) % mod;

    printf("%lld", ans);

    return 0;

}