NC16857 [NOI1999]生日蛋糕

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题目

题目描述

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第i(1 ≤ i ≤ M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i<M时，要求Ri>Ri+1且Hi>Hi+1。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。

令Q= Sπ

请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。

（除Q外，以上所有数据皆为正整数）

输入描述

有两行，第一行为N(N≤10000)，表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M≤20)，表示蛋糕的层数为M。

输出描述

仅一行，是一个正整数S（若无解则S=0）。

示例1

输入

100
2

输出

68

备注

附：圆柱公式体积V=πR2H侧面积A’=2πRH底面积A=πR2

题解

知识点：DFS。

用dfs枚举每一层遍历所有可行状态，到最后一层更新答案。

但实际上需要做很多剪枝操作：

1. 现有表面积+剩余体积能够形成的最小表面积（r最大）>=ans 说明不是最优的直接剪掉
2. 现有表面积+不考虑体积形成的最小表面积>=ans 说明不是最优的剪掉
3. 现有体积+形成最小体积>要求体积 说明不可行剪掉
4. 预处理最小表面积和最小体积

时间复杂度 \(O(?)\)

空间复杂度 \(O(m)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, m;
int mins[27], minv[27];
int ans = ~(1 << 31);

void dfs(int rmax, int hmax, int step, int S = 0, int V = 0) {
    if (step == 0) {
        if (V == n) ans = min(ans, S);
        return;
    }

    if (S + 2 * (n - V) / rmax >= ans) return;///S+符合体积的最小表面积>ans
    if (V + minv[step] > n) return;///V+最小体积>n
    if (S + mins[step] >= ans) return;///S+最小表面积>=ans

    for (int i = rmax;i >= step;i--) {
        for (int j = hmax;j >= step;j--) {
            if (i * i * j + V > n) continue;
            if (step == m) S = i * i;
            dfs(i - 1, j - 1, step - 1, S + 2 * i * j, V + i * i * j);
        }
    }
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= m;i++) {
        mins[i] = mins[i - 1] + 2 * i * i;
        minv[i] = minv[i - 1] + i * i * i;
    }
    dfs((int)sqrt(n / m), n / m / m, m);
    if (ans > 3 * n) cout << 0 << '\n';
    else cout << ans << '\n';
    return 0;
}