量子位（qubit）发微

上一篇文章我们讲了量子计算机的一些概念，文章不短，但是信息量很少。这里继续深入量子机来揭开qubit的神秘面纱。

这篇文章会有一些数学概念，不过很简单

量子叠加

量子叠加非常重要，因为qubit就是利用的这个机制。

我们先给自旋建立一个数学模型，这个模型也简单得令人发指，在里面我们也会学习一些简单的数学符号！

我们说粒子自旋是在叠加态，就是说它是自旋向上和向下的线性叠加。下面是使用狄拉克符号表示的式子：



其中的系数\(\alpha\)称为对应状态的振幅。上旋和下旋都是向量，系数是复数。结果也是向量，用狄拉克符号$|\psi\rangle $表示振幅向量：



上旋和下旋都使用二维向量，它们是一对正交基：



对偶形式就是（注意右矢变左矢了）

所以都是简单的矩阵乘法和线性代数，只是使用狄拉克符号简写了。熟悉了以后就能写出很多短小的形式，比如二维正交基向量的内积是 1 × 2 和 2 × 1两个矩阵的乘积，表示为\(\langle 0|1\rangle\)；由于正交，结果总是0。任何叠加态自己的内积都是1，因为总的概率是1。



下面是一些其他叠加态的狄拉克表示，看看就行，能记就记：

你可以通过《量子计算中的数学》了解更多一点狄拉克记号。

假设一个粒子的叠加态是\(\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle\)，当你测量时，坍缩到某个状态的概率就是对应振幅的平方：这个数学模型和实验结果匹配的非常好。这个例子里每个状态的坍缩概率都是\(\frac{1}{2}\)。

我们可以使用一个称为布洛赫球的单位球直观的“观察”叠加态。球的北极和南极分别代表上旋和下旋，所以球上的红点就是一个叠加态，当测量时它会回落到南极或北极（概率上讲，北极概率大一些）。



实际上叠加态的振幅都可以是复数，比如\(\frac{1-i}{2\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1+i}{2\sqrt{2}}|1\rangle\)，你算一下振幅平方和是不是1（振幅是系数的范数，所以虚数振幅的平方是它们跟自己的共轭虚数的积，也就是\(3+4i\)需要和\(3-4i\)相乘）。

下面是球面上6个关键点的叠加态值：

我们回忆一下，复合物理系统的状态空间通过张量积来计算。比如下面是三个qubit对的例子：

\[\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes |1\rangle\otimes|1\rangle\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(|011\rangle+|111\rangle)\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}(|3\rangle+|7\rangle)
\]

下面是一个2qubit组合的粒子：

\[|\Psi_0\rangle=\alpha_0|0\rangle+\alpha_1|1\rangle,|\Psi_1\rangle=\beta_0|0\rangle+\beta_|1\rangle
\]

\[|\Psi_0\rangle|\Psi_1\rangle=\alpha_0\beta_0|00\rangle+\alpha_0\beta_1|01\rangle+\alpha_1\beta_0|10\rangle+\alpha_1\beta_1|11\rangle
\]

所以，对于2qubit的系统会有4个状态基向量，系数都是复数：

\[|\Psi\rangle=\alpha_{00}|00\rangle+\alpha_{01}|01\rangle+\alpha_{10}|10\rangle+\alpha_{11}|11\rangle
\]

对于3qubit系统就会有8个：

\[|\psi_2\rangle=a_0|000\rangle+a_1|001\rangle+a_2|010\rangle+a_3|011\rangle+a_4|100\rangle+a_5|101\rangle+a_6|110\rangle+a_7|111\rangle
\]

这样一来，64个qubit的系统状态向量基就是20位数的18,446,744,073,709,551,616！所以64位的量子机（相对于传统计算机只能存储一个长整型）能存储的数据量将是极大的。而我国目前的高端量子实验用的都是上百位的qubit。

未完...

量子位能存储特大量数据，但是要使用就需要测量，一测量它的数据就极少了。

量子机没有加减乘除这些东西，该怎么运算呢？我们继续...