P10160 [DTCPC 2024] Ultra 题解

【题目描述】

给你一个 $01$ 序列，你可以进行如下操作若干次（或零次）:

将序列中形如 $101\cdots01$ 的一个子串（即 $1(01)^k$，$k\ge 1$）替换成等长的 $010\cdots10$（即 $0(10)^k$）。

你要操作使得 $1$ 的个数尽可能少，输出最少的 $1$ 的个数。

【思路】

一开始看到这道题不会做，问老师，于是：

于是开始自己造数据，把结论玩出来了。

首先考虑这样子的情况：A00B，$A,B$ 是一个 $01$ 序列。我们不难发现，对于这种情况，$A,B$ 不管怎么替换，都不可能将 $A,B$ 连在一起。于是我们有了第一步，将整个串分割开，分割条件是出现两个及以上连续的 $0$。

现在我们得到了一大堆 $01$ 序列，这些序列都没有两个及以上连续的 $0$。对于每一个序列，可以分为两种情况：

$111\cdots111$：对于全部都是 $1$ 的串，我们无法对其进行操作，答案加上区间长度。
$111\cdots101\cdots111$：对于其中至少有一个 $0$ 的串，我们一定有一种方法让他只剩下一个 $1$，答案加 $1$。证明过程放在最后。

于是这道题就做完了。

嗯。

【Code】

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

char s[1000005];

int n,ans;

//判断是否是区间开始

bool Is_start(int x){

	if(x==1&&s[x]=='1') return true;

	if(x==2&&s[x-1]=='0'&&s[x]=='1') return true;

	if(x>=3&&s[x-2]=='0'&&s[x-1]=='0'&&s[x]=='1') return true;

	return false;

}

//判断是否为区间结束

bool Is_end(int x){

	if(s[x]=='1'&&s[x+1]=='0'&&s[x+2]=='0') return true;

	return false;

}

//判断一个区间中是否有 0

bool No_zero(int l,int r){

	for(int i=l;i<=r;i++){

		if(s[i]=='0') return false;

	}return true;

}

int main()

{

	scanf("%s",s+1);

	n=strlen(s+1);

	s[n+1]=s[n+2]='0';

	int l=0,r=0;

	for(int i=1;i<=n;i++){

		if(Is_start(i)) l=i; //是区间开始

		if(Is_end(i)){	     //是区间结束

			r=i;

			if(No_zero(l,r)) ans+=r-l+1; //全部是 1，无法消去

			else             ans+=1;     //其中有 0，消到一个

		}

	}

	printf("%d",ans);

	return 0;

}

【证明】

证明内容：一个至少包含一个 $0$ 的 $01$ 串，最后一定可以被消除到只剩一个 $1$

我们从这个 $01$ 串最右边的那个 $0$ 开始。

那么这个串可以表示为 $1\cdots1110111 \cdots 1A$ 的形式，$A$ 是一个 $01$ 串。

$\begin{array}{c}
\ \ \ \ \ \ \ \ {\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots {\color{Blue}1}A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1} \cdots {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots {\color{Blue}1}A
\end{array}$

在替换的这个串的左边会碰到这个串的边缘：

\(\begin{array}{c}
\ \ \ \ \ \ \ \ {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\end{array}\)

然后慢慢缩回来。

而它的右边则有两种情况：

碰到 $1$，一起改变掉。
碰到 $0$：

\(\begin{array}{c}
\ \ \ \ \ \ \ \ {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\Longrightarrow {\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1}{\color{Red}0}{\color{Blue}1} \cdots A \\
\end{array}\)