求素数p的原根

定义: 设m>1,gcd(a,m)=1,使得成立的最小正整数d为a对模m的阶，记为δm(a)

如果δm(a)=φ(m),则称a是模m的原根

定理：设m>1,gcd(a,m)=1,那么正整数x是同于方程的一个根当且仅当δm(a) | x

定理：由欧拉定理得  gcd(a,n)=1

定理：模m有原根的充要条件是m=2,4,,其中p为奇质数，n为任意正整数

定理：素数必有原根，如果一个数n有原根那么他有φ(φ(n))个模n不同余的原根

求模素数p的原根的方法：对p-1素因子分解，即p-1=的标准分解式，若有成立，

则a就是p的原根。(对于合数求原根，除了需要预先判断是否存在原根之外，还需要把p-1换成φ(p)）

求素数的最小原根程序

const int maxn=;
int prime[maxn];
void Get_Prime(){
    memset(prime,,sizeof(prime));
    for(int i=;i<=maxn;i++){
        if(!prime[i]) prime[++prime[]]=i;
        for(int j=;j<=prime[]&&prime[j]<=maxn/i;j++){
            prime[prime[j]*i]=;
            if(i%prime[j]==) break;
        }
    }
    //for(int i=1;i<=20;i++) cout<<prime[i]<<endl;
}
long long factor[][];
int fatCnt;
int GetFactors(long long x){
    fatCnt=;
    long long tmp=x;
    for(int i=;prime[i]<=tmp/prime[i];i++){
        factor[fatCnt][]=;
        if(tmp%prime[i]==){
            factor[fatCnt][]=prime[i];
            while(tmp%prime[i]==){
                factor[fatCnt][]++;
                tmp/=prime[i];
            }
            fatCnt++;
        }
    }
    if(tmp!=){
        factor[fatCnt][]=tmp;
        factor[fatCnt++][]=;
    }
    //for(int i=0;i<fatCnt;i++) cout<<"yinzi="<<factor[i][0]<<"  mi="<<factor[i][1]<<endl;
    return fatCnt;
}
template<class T> T fast_mod(T a,T b,T Mod){
    a%=mod;
    if(b==) return ;
    T ans=,base=a;
    while(b!=){
        if(b&)ans=(ans*base)%Mod;
        base=(base*base)%Mod;
        b>>=;
    }
    return ans;
}
//判断一个数是否有原根
bool judge(int n){
    if(n==||n==) return true;
    GetFactors(n);
    if(fatCnt==) return true;
    if(fatCnt==&&factor[][]==&&factor[][]==) return true;
    return false;
}
//返回最小的原根，如果没有则返回-1
int Solve(int P){
    if(P==) return ;
    //if(!judge(P)) return false;
    GetFactors(P-);
    for(int g=;g<P;g++){
        bool flag=true;
        for(int i=;i<fatCnt;i++){
            int t=(P-)/factor[i][];
            if(fast_mod(g,t,P)==) {
                flag=false;break;
            }
        }
        if(flag) return g;
    }
}