[USACO19DEC]Tree Depth P

题意

求逆序对为\(k\)的\(n\)排列中，生成的笛卡尔数，每个位置的深度和。\(n\le 300\)

做法

设\(f_{k}\)为\(n\)排列中逆序对为\(k\)的个数，其生成函数为：\[\prod\limits_{i=0}^{n-1}(\sum\limits_{j=0}^i x^i)\]

把统计深度转换为统计祖先个数\(+1\)
考虑\(i,j(i<j)\)，\(i\)为\(j\)的祖先，充要条件为在区间\([i,j]\)\(i\)是最小的

然后我们忘掉证明这个生成函数最简单的方式，也就是从小到大推的那种
考虑一段区间\([i,j]\)，先做这里的生成函数，然后再做前面的，再做后面的，不需要数的大小了，任意数都能产生所有的可能

也就是说，枚举\(i,j\)，只考虑换掉原来生成函数的一项即可，然后讨论钦定哪一个为祖先，这时候是明确逆序对个数贡献的

复杂度\(O(n^2+nk)\)