Yet Another Number Sequence——[矩阵快速幂]

Description

　　Everyone knows what the Fibonacci sequence is. This sequence can be defined by the recurrence relation:

F₁ = 1, F₂ = 2, F_i = F_i - 1 + F_i - 2 (i > 2).

We'll define a new number sequence A_i(k) by the formula:

A_i(k) = F_i × i^k (i ≥ 1).

In this problem, your task is to calculate the following sum: A₁(k) + A₂(k) + ... + A_n(k). The answer can be very large, so print it modulo 1000000007(10⁹ + 7).

Input

　　The first line contains two space-separated integers n, k(1 ≤ n ≤ 10¹⁷; 1 ≤ k ≤ 40).

Output

　　Print a single integer — the sum of the first n elements of the sequence A_i(k) modulo 1000000007(10⁹ + 7).

Sample Input

Input

1 1

Output

1

Input

4 1

Output

34

Input

5 2

Output

316

Input

7 4

Output

73825

解题思路：
　　这是一道矩阵快速幂求多项式的应用，思路很清晰：找到各个量之间的递推关系，用矩阵求幂转移状态。问题的关键在于推导A（n，k），sumA（n），
F（n）之间的关系。过程如下：
　　1.令 U（n＋1，k）＝F（n＋1）＊（n＋1）^k；
　　　　　V（n＋1，k）＝F（n）＊（n＋1）^k；
　　　　Sum（n）＝∑［i＝1～n］A（i，k）；
　　2.利用二项式定理将（1+i）^n展开；
　　则 U（n＋1，k）＝∑［i＝0～k］C（i，k）＊F（n）＊（n）^i＋∑［i＝0～k］C（i，k）＊F（n－1）＊（n）^i
　　　　　　　　　　　　＝∑［i＝0～k］C（i，k）＊U（n，i）＋∑［i＝0～k］C（i，k）＊V（n，i）；
　　同理 V（n＋1，k）＝∑［i＝0～k］C（i，k）＊U（n，i）；
　　Sum（n）＝Sum（n－1）＋U（n，k）；
　　
　　3.状态转移用矩阵向量表示：

sum（n-1）		sum(n)
U(n,k)		U(n+1,k)
...		...
U(n,0)	=>	U(n+1,0)
V(n,k)		V(n+1,k)
...		...
V(n,0)		V(n+1,0)

代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <time.h>
 #include <assert.h>
 #define time_ printf("time : %f\n",double(clock())/CLOCKS_PER_SEC)
 using namespace std;
 #define maxk 40
 #define MOD 1000000007
 #define mod_(x) (x%MOD)

 typedef long long LL;
 LL n;
 int k;

 struct Matrix{
     int row,col;
     int m[*maxk+][*maxk+];
     Matrix(int r=,int c=){
         row=r;
         col=c;
         memset(m, , sizeof m);
     }
     void operator=(const Matrix& m2){
         memcpy(m, m2.m, sizeof m);
     }
 };
 Matrix operator*(const Matrix& a,const Matrix& b){
     Matrix c(a.row,b.col);
     for(int i=;i<c.row;i++)
         for(int j=;j<c.col;j++){
             for(int p=;p<a.col;p++){
                 c.m[i][j]=(c.m[i][j]+LL(a.m[i][p])*b.m[p][j])%MOD;
                 //assert(c.m[i][j]>=0);
             }
         }
     return c;
 }
 Matrix C;
 void set_C(){
     for(int i=k;i>=;i--)
         for(int j=k;j>=i;j--){
             if(j==k||j==i)
                 C.m[i][j]=;
             else
                 C.m[i][j]=(C.m[i+][j]+C.m[i+][j+])%MOD;
             }
 }
 void cpy_C(Matrix& a,int pi,int pj){
     int len=k+;
     for(int i=;i<len;i++)
         for(int j=;j<len;j++)
             a.m[pi+i][pj+j]=C.m[i][j];
 }
 void set_M(Matrix& a){
     a.m[][]=,a.m[][]=;
     cpy_C(a, , );
     cpy_C(a, k+, );
     cpy_C(a, , k+);
 }
 Matrix pow_mod(Matrix& a,LL n){
     if(n==) return a;
     Matrix temp=pow_mod(a, n/);
     temp=temp*temp;
     if(n%){
         temp=temp*a;
     }
     return temp;
 }
 int pow_2(int n){
     if(n==) return ;
     int temp=pow_2(n/)%MOD;
     temp=int((LL(temp)*temp)%MOD);
     if(n%)
         temp=(temp*)%MOD;
     return temp;
 }
 int main(int argc, const char * argv[]) {
     while(scanf("%lld%d",&n,&k)==){
         if(n==){
             printf("%d\n",);
             continue;
         }
         set_C();
         Matrix I(*k+,*k+);
         set_M(I);
         Matrix A(*k+,);
         A.m[][]=;
         for(int i=;i<k+;i++)
             A.m[i][]=pow_2(k+-i+);
         for(int i=k+;i<*k+;i++)
             A.m[i][]=pow_2(*k+-i);
         Matrix temp=pow_mod(I, n-);
         A=temp*A;
         printf("%d\n",A.m[][]);
         //time_;
     }
     return ;
 }