Basic Thought / Data Structure: 前缀和 Prefix Sum

Intro:

在OI中，前缀和是一种泛用性很高的数据结构，也是非常重要的优化思想

Function: 求静态区间和

模板题：输入序列 $a_{1..n}$ ，对于每一个输入的二元组 $(l,r)$ ，求 $\sum_{i=l}^ra_i$

先想一想朴素算法怎么做吧

对于输入的每一组 $(l,r)$ ，遍历序列 $a_{l..r}$ 求和，代码如下

int s(0);

for(int i(l);i<=r;++i)s+=a[i];

return s;

Time complexity: $O(n)$

Memory complexity: $O(n)$

如果有m次询问，则总时间复杂度 $O(nm)$

观察这个过程，可以发现有大量多余运算，比如说，对于两次询问，它们区间的交集就是被多余运算的

那么有没有方法使得计算量减少呢？

可以发现 $\sum_{i=l}^ra_i=\sum_{i=1}^ra_i-\sum_{i=1}^{l-1}a_i$

也就是说如果存在数组 $s_{1..n}$ 使得 $s_i=\sum_{j=1}^ia_j$ ，则

$\sum_{i=l}^ra_i=s_r-s_{l-1}$

$s_{1..n}$ 就是传说中的前缀和数组啦！

Operation:

First: 为数组 $a_{1..n}$ 构造前缀和数组 $s_{1..n}$

Second: 对于输入区间 $[l,r]$ ，直接计算出区间和 $s_r-s_{l-1}$

关键就是前缀和数组如何构造

使用递推思想

$s_i=\sum_{j=1}^ia_j=\sum_{j=1}^{i-1}a_j+a_i=s_{i-1}+a_i$

Code:

求$s_{1..n}$

for(int i(1);i<=n;++i)s[i]=s[i-1]+a[i];

询问

return s[r]-s[l-1];

Time complexity: $O(n)$ 预处理 $O(1)$ 查询

Memory complexity: $O(n)$

P.s 可以直接将原数组变成前缀和数组，则不需要额外空间，代码如下

for(int i(2);i<=n;++i)a[i]+=a[i-1];

Example:

洛谷P1114 “非常男女”计划

这是一道练习前缀和思想（然而不是特别明显）的经典题目

如果将男生表示 $1$ ，女生表示 $-1$ ，那么题目就变成了求能使区间和为$0$的最大区间长度（是不是有点前缀和的味道了）

但是单单枚举区间两端， $O(n^2)$ 的时间复杂度明显超时，而且这种方法根本不需要前缀和（直接求和即可）

这道题的要点在于 $\sum_{i=l}^ra_i=\sum_{i=1}^ra_i-\sum_{i=1}^{l-1}a_i$ （是不是很眼熟）

所以当 $\sum_{i=l}^ra_i=0$ 时， $\sum_{i=1}^ra_i=\sum_{i=1}^{l-1}a_i$

所以关键在于对于两个端点 $l,r$ ，如果 $s_l=s_r$ ，那么 $[l+1,r]$ 就是一个可行区间

对所有端点$i$，按照$s_i$分类，对每一类求极差，取最大值即可

P.s 其中端点 $0$ 属于 $s_i=0$ 类

具体见代码（ $s_{1..n}$ 被优化掉了，用 $p_i,-n\leqslant i\leqslant n$ 表示每一个 $s_j=i$ 的最小 $j$ ，若不存在则 $p_i=-1$ ）

//This program is written by Brian Peng.

#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")

#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define Rd(a) (a=read())

#define Gc(a) (a=getchar())

#define Pc(a) putchar(a)

inline int read(){

	register int x;register char c(getchar());register bool k;

	while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);

	if(c^'-')k=1,x=c&15;else k=x=0;

	while(isdigit(Gc(c)))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15);

	return k?x:-x;

}

void wr(register int a){

	if(a<0)Pc('-'),a=-a;

	if(a<=9)Pc(a|'0');

	else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');

}

signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);

long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);

#define Ps Pc(' ')

#define Pe Pc('\n')

#define Frn0(i,a,b) for(register int i(a);i<(b);++i)

#define Frn1(i,a,b) for(register int i(a);i<=(b);++i)

#define Frn_(i,a,b) for(register int i(a);i>=(b);--i)

#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)

#define N (200010)

#define P(a) (p[a+n])

int n,p[N],s,ans;

signed main(){

	Rd(n),Mst(p,-1),P(0)=0;

	Frn1(i,1,n)s+=read()?1:-1,~P(s)?ans=max(ans,i-P(s)):P(s)=i;

	wr(ans),exit(0);

}

到此为止前缀和的所有基本操作都讲完啦！

Conclusion & Extension:

前缀和是一种泛用性很高的数据结构，也是非常重要的优化思想

它利用预处理和递推的方法减少多余运算，达到优化的目的

不仅适用于加法，还适用于所有满足于结合律而且具有单位（对于加法就是 $0$ ）和逆元（对于加法 $a$ 的逆元是 $-a$ ）的二元运算，如乘法

但是对于求最值就不太靠谱了（对于这类问题（称为RMQ问题）也有很棒的算法）

前缀和数组的online version：树状数组

Particularly, 前缀和还有逆运算：差分

到此为止本篇文章就圆满结束啦，请各位奆佬们多多指教和支持，THX!