【NOIP模拟赛】随

题目链接：

　　172.18.111.252:800/problem.php?cid=1001&pid=0

题解：

　　膜达神……（NOIP考这个就等爆零吧……）

　　显然我们得到一个结论：$ans=\sum_{i=0}^{mod-1}i*f_{i}$，其中$f_{i}$表示结果为i的概率。

　　那么问题就是求$f_{i}$。

　　最初我们可以想到用暴力枚举所有状态，显然超时，怎么优化，矩阵dp。可以开一个$n^{2}$的矩阵来递推。但这样时间$n^{3}\log(n)$还是过不去。深入探讨，我们发现，给的mod是很小的，也就意味着可以把许多$a_{i}$合并概率，同时我们发现（题目下面提示），这原根似乎没用到。(⊙v⊙)嗯。

　　我们设$g$为原根，那么对于所有的$a_{i}$我们都可以用$g^{x}$来表示，然后结合欧拉定理，我们就可以到到一个新的递推式:$f_{i,j}=\sum_{x=0}^{mod-2}f_{i-1,x}*f_{i-1,j-x}$其中$f_{i,j}$表示i次选取后，结果为原根的j次幂的概率，$j-x$为其在mod-1意义下的剩余系。这个式子显然可以矩阵优化，同时我们发现这个矩阵是一个循环矩阵,然后我们就可以在$O(mod^{2}log（m）)$的时间内求出答案。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 using namespace std;
 const int mod=int(1e9)+,N=;
 inline int read(){
     int s=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'')   ch=getchar();
     while(ch>=''&&ch<='') s=s*+(ch^),ch=getchar();
     return s;
 }
 int n,m,P,P2;
 int yuan(){
     for(int i=;i<P;i++){
         int x=;
         bool flag=true;
         for(int j=;j<P2;j++){
             x=x*i%P;
             if(x==){
                 flag=false;break;
             }
         }
         if(flag)    return i;
     }
 }
 inline int powmod(int a,int b){
     int ans=;
     while(b){
         if(b&) ans=1LL*ans*a%mod;
         b>>=;
         a=1LL*a*a%mod;
     }return ans;
 }
 struct Matrix{
     int a[N];
     Matrix (){memset(a,,sizeof(a));}
 }now,a;
 Matrix t;
 int pi[N],logs[N];
 int cnt[N];
 int main(){
     n=read(),m=read(),P=read();P2=P-;
     int rt=yuan();

     int x=;
     logs[]=;
     pi[]=;
     for(int i=;i<P2;i++){
         x=1LL*x*rt%P;
         pi[i]=x;
         logs[x]=i;
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
         cnt[logs[read()]]++;

     int re=powmod(n,mod-);
     for(int i=;i<P2;i++)
         cnt[i]=1LL*cnt[i]*re%mod;
     now.a[]=;
     for(int i=;i<P2;i++)
         a.a[i]=cnt[(P2-i)%P2];
     while(m){
         if(m&) {
             for(int i=;i<P2;i++){
                 t.a[i]=;
                 for(int j=;j<P2;j++)
                     t.a[i]=(1LL*t.a[i]+1LL*now.a[j]*a.a[(i-j+P2)%P2])%mod;
             }
             now=t;
         }
         m>>=;
         for(int i=;i<P2;i++){
             t.a[i]=;
             for(int j=;j<P2;j++)
                 t.a[i]=(1LL*t.a[i]+1LL*a.a[j]*a.a[(i-j+P2)%P2])%mod;
         }
         a=t;
     }
     int ans=;
     for(int i=;i<P2;i++){
            ans=(ans*1LL+pi[i]*1LL*now.a[(P2-i)%P2]%mod)%mod;
     }
     printf("%d\n",ans);
 }