杜教筛进阶+洲阁筛讲解+SPOJ divcnt3

Part 1:杜教筛进阶
在了解了杜教筛基本应用，如$\sum_{i=1}^n\varphi(i)$的求法后，我们看一些杜教筛较难的应用。
求$\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i$
考虑把它与$id$函数狄利克雷卷积后的前缀和。
$$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)*d*\frac id=\sum_{i=1}^ni^2$$枚举$T=\frac id$，原式化为
$$\sum_{T=1}^nT\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}\varphi(d)*d=\sum_{i=1}^ni^2$$移项，得
$$\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i=\sum_{i=1}^ni^2-\sum_{T=2}^nT\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}\varphi(d)*d$$右边的$\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}\varphi(d)*d$递归求就行了。
总结：当遇到一些不好求前缀和的函数时，一般将其与一个易于求前缀和的函数进行狄利克雷卷积，得到另一个易于求前缀和的函数，然后通过简单的数学变换，得到可以递归的式子。
Part 2:洲阁筛讲解
有一篇博客讲的挺好：
http://debug18.com/posts/calculate-the-sum-of-multiplicative-function
Part 3:SPOJ divcnt3

洲阁筛的简单应用。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=316241,p=;
int T,e,tt,t2,pr[N],hd[p],nx[p],w[p],mx[N],ci[N],s[N],D[p];
ll n,a1,to[p],d[p],g[p],f[N],f2[p],sf[N];
void ins(int x,ll y) {int h=y%p; to[++e]=y,w[e]=x,nx[e]=hd[h],hd[h]=e;}
int qr(ll x) {for(int i=hd[x%p];i;i=nx[i]) if(to[i]==x) return w[i]; return ;}

void sol() {
    e=t2=;
    for(ll i=;i<=n;i=n/(n/i)+) hd[n/i%p]=;
    for(ll i=;i<=n;i=n/(n/i)+) ins(++t2,n/i),d[t2]=g[t2]=n/i,D[t2]=;
    for(int i=;i<=tt;i++)
    for(int j=;j<=t2&&(ll)pr[i]*pr[i]<=d[j];j++) {
        int k=qr(d[j]/pr[i]); g[j]-=g[k]-(i--D[k]),D[j]=i;
    }
}
void sol2() {
    for(int i=;i<=t2;i++) f2[t2]=;
    for(int i=tt;i;i--)
    for(int j=;j<=t2&&(ll)pr[i]*pr[i]<=d[j];j++) {
        if(pr[i+]>d[j]) f2[j]=;
        else if((ll)pr[i+]*pr[i+]>d[j]) f2[j]=(s[min(N-1LL,d[j])]-s[pr[i+]-])*+;
        for(ll pi=pr[i],c=;d[j]>=pi;pi*=pr[i],c++) {
            ll k=d[j]/pi,k2;
            if(pr[i+]>k) k2=;
            else if((ll)pr[i+]*pr[i+]>k) k2=(s[min(N-1LL,k)]-s[pr[i+]-])*+;
            else k2=f2[qr(k)];
            f2[j]+=k2*(*c+);
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d",&T),f[]=sf[]=;
    for(int i=;i<N;i++) {
        s[i]=s[i-]+!f[i];
        if(!f[i]) pr[++tt]=i,f[i]=,mx[i]=i,ci[i]=;
        for(int j=,k;j<=tt&&(k=i*pr[j])<N;j++) {
            if(i%pr[j]) f[k]=f[i]*,mx[k]=pr[j],ci[k]=;
            else {f[k]=f[i/mx[i]]*(ci[i]*+),mx[k]=mx[i]*pr[j],ci[k]=ci[i]+; break;}
        }
        sf[i]=sf[i-]+f[i];
    }
    pr[tt+]=;
    while(T--) {
        scanf("%lld",&n);
        if(n<N) {printf("%lld\n",sf[n]); continue;}
        a1=,sol(),sol2();
        for(int i=,r;i<N;i=r+) {
            int j=qr(n/i); ll k;
            if(pr[tt+]>n/i) k=;
            else k=g[j]-(tt-D[j]);
            a1+=(sf[r=min(N-1LL,n/(n/i))]-sf[i-])*(k-)*;
        }
        printf("%lld\n",a1+f2[]);
    }
    return ;
}