2017多校第10场 HDU 6178 Monkeys 贪心，或者DP

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6178

题意：给出一棵有n个节点的树，现在需要你把k只猴子放在节点上，每个节点最多放一只猴子，且要求每只猴子必有一只另外的猴子通过一条边与它相连，问最少用多少条边能达到这个要求。

解法：利用贪心的思维，显然我们应该先选择性价比最高的，即一条边连接两个点的情况。计算出这样的边的条数ans，如果ans*2>=k,结果就是(k+1)/2,否则剩下来没有安排的猴子每一只需要多一条边，即结果为ans+k-2 * ans。我的方法是用类拓扑排序的方法，找连接两个度数为1且没用被用过的点的边数，每次找到一条边后注意更新度数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
struct FastIO
{
    static const int S = 1310720;
    int wpos;
    char wbuf[S];
    FastIO() : wpos(0) {}
    inline int xchar()
    {
        static char buf[S];
        static int len = 0, pos = 0;
        if(pos == len)
            pos = 0, len = fread(buf, 1, S, stdin);
        if(pos == len)
            exit(0);
        return buf[pos ++];
    }
    inline unsigned long long xuint()
    {
        int c = xchar();
        unsigned long long x = 0;
        while(c <= 32)
            c = xchar();
        for(; '0' <= c && c <= '9'; c = xchar())
            x = x * 10 + c - '0';
        return x;
    }
    inline long long xint()
    {
        long long s = 1;
        int c = xchar(), x = 0;
        while(c <= 32)
            c = xchar();
        if(c == '-')
            s = -1, c = xchar();
        for(; '0' <= c && c <= '9'; c = xchar())
            x = x * 10 + c - '0';
        return x * s;
    }
    inline void xstring(char *s)
    {
        int c = xchar();
        while(c <= 32)
            c = xchar();
        for(; c > 32; c = xchar())
            * s++ = c;
        *s = 0;
    }
    inline double xdouble()
    {
        bool sign = 0;
        char ch = xchar();
        double x = 0;
        while(ch <= 32)
            ch = xchar();
        if(ch == '-')
            sign = 1, ch = xchar();
        for(; '0' <= ch && ch <= '9'; ch = xchar())
            x = x * 10 + ch - '0';
        if(ch == '.')
        {
            double tmp = 1;
            ch = xchar();
            for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = xchar())
                tmp /= 10.0, x += tmp * (ch - '0');
        }
        if(sign)
            x = -x;
        return x;
    }
    inline void wchar(int x)
    {
        if(wpos == S)
            fwrite(wbuf, 1, S, stdout), wpos = 0;
        wbuf[wpos ++] = x;
    }
    inline void wint(long long x)
    {
        if(x < 0)
            wchar('-'), x = -x;
        char s[24];
        int n = 0;
        while(x || !n)
            s[n ++] = '0' + x % 10, x /= 10;
        while(n--)
            wchar(s[n]);
    }
    inline void wstring(const char *s)
    {
        while(*s)
            wchar(*s++);
    }
    inline void wdouble(double x, int y = 6)
    {
        static long long mul[] = {1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, 1000000000, 10000000000LL, 100000000000LL, 1000000000000LL, 10000000000000LL, 100000000000000LL, 1000000000000000LL, 10000000000000000LL, 100000000000000000LL};
        if(x < -1e-12)
            wchar('-'), x = -x;
        x *= mul[y];
        long long x1 = (long long) floorl(x);
        if(x - floor(x) >= 0.5)
            ++x1;
        long long x2 = x1 / mul[y], x3 = x1 - x2 * mul[y];
        wint(x2);
        if(y > 0)
        {
            wchar('.');
            for(size_t i = 1; i < y && x3 * mul[i] < mul[y]; wchar('0'), ++i);
            wint(x3);
        }
    }
    ~FastIO()
    {
        if(wpos)
            fwrite(wbuf, 1, wpos, stdout), wpos = 0;
    }
} io;
const int maxn = 100010;
struct edge{
    int to,next;
}E[maxn*2];
int head[maxn],edgecnt;
void init(){
    edgecnt=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
void add(int u, int v){
    E[edgecnt].to=v,E[edgecnt].next=head[u],head[u]=edgecnt++;
}
int du[maxn];
bool vis[maxn];

int main()
{
    int T,n,k;
    T = io.xuint();
    while(T--)
    {
        init();
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        n = io.xuint();
        k = io.xuint();
        for(int i=2; i<=n; i++){
            int x;
            x = io.xuint();
            add(i, x);
            add(x, i);
            du[x]++;
            du[i]++;
        }
        queue<int>q;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            if(du[i] == 1){
                q.push(i);
            }
        }
        int ans = 0;
        while(!q.empty())
        {
            int u = q.front(); q.pop();
            for(int i=head[u]; i+1; i=E[i].next){
                int v = E[i].to;
                if(!vis[u]&&!vis[v]){
                    vis[u]=1;
                    vis[v]=1;
                    ans++;
                }
                du[v]--;
                if(du[v]==1){
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        if(ans*2>=k){
            printf("%d\n", (k+1)/2);
        }
        else{
            ans = ans+k-2*ans;
            printf("%d\n", ans);
        }
    }
    return 0;
}

我还在网上看到了另外一种利用树形DP解决这个题的方法，觉得挺妙的，他的方法是这样的。http://blog.csdn.net/my_sunshine26/article/details/77586785

我们尽量要使一个点只匹配一个点，很容易想到二分匹配中的最大匹配数，而最大匹配数即为最小点覆盖数，可用树形DP解决。

我们用dp[i][1]表示选择i这个顶点(初始化dp[root][1]为1)的最小点覆盖数，那么它的儿子节点son[i]可以被选择也可以不被选择。

状态转移方程为 dp[i][1]+=min(dp[son[i]][0],dp[son[i]][1]);

用dp[i][0]表示不选择i这个顶点(初始化dp[root][0]为0)的最小点覆盖数，显然它的儿子节点son[i]就必须被选择了。

状态转移方程为 dp[i][0]+=dp[son[i]][1];

最终求出最小点覆盖数(最大匹配数)即为min(dp[1][0],dp[1][1])，也就求出了ans,然后跟上面的步骤相同。