LR多分类推广 - Softmax回归*

　　LR是一个传统的二分类模型，它也可以用于多分类任务，其基本思想是：将多分类任务拆分成若干个二分类任务，然后对每个二分类任务训练一个模型，最后将多个模型的结果进行集成以获得最终的分类结果。一般来说，可以采取的拆分策略有：

one vs one策略

　　假设我们有N个类别，该策略基本思想就是不同类别两两之间训练一个分类器，这时我们一共会训练出种不同的分类器。在预测时，我们将样本提交给所有的分类器，一共会获得N(N+1)个结果，最终结果通过投票产生。

one vs all策略

　　该策略基本思想就是将第i种类型的所有样本作为正例，将剩下的所有样本作为负例，进行训练得到一个分类器。这样我们就一共可以得到N个分类器。在预测时，我们将样本提交给所有的分类器，一共会获得N个结果，我们选择其中概率值最大的那个作为最终分类结果。

softmax回归

　　softmax是LR在多分类的推广。与LR一样，同属于广义线性模型。什么是Softmax函数？假设我们有一个数组A，表示的是数组A中的第i个元素，那么这个元素的Softmax值就是

也就是说，是该元素的指数，与所有元素指数和的比值。那么 softmax回归模型的假设函数又是怎么样的呢？

由上式很明显可以得出，假设函数的分母其实就是对概率分布进行了归一化，使得所有类别的概率之和为1；也可以看出LR其实就是K=2时的Softmax。在参数获得上，我们可以采用one vs all策略获得K个不同的训练数据集进行训练，进而针对每一类别都会得到一组参数向量。当测试样本特征向量输入时，我们先用假设函数针对每一个类别估算出概率值。因此我们的假设函数将要输出一个K维的向量（向量元素和为1）来表示K个类别的估计概率，我们选择其中得分最大的类别作为该输入的预测类别。Softmax看起来和one vs all 的LR很像，它们最大的不同在与Softmax得到的K个类别的得分和为1，而one vs all的LR并不是。

softmax的代价函数

　　类似于LR，其似然函数我们采用对数似然，故：

加入正则项的损失函数为：

此处的为符号函数。对于其参数的求解过程，我们依然采用梯度下降法。

softmax的梯度的求解

　　正则化项的求导很简单，就等于，下面我们主要讨论没有加正则项的损失函数的梯度求解，即

的导数（梯度）。为了使得求解过程看起来简便、易于理解，我们仅仅只对于一个样本（x,y）情况（SGD）进行讨论，

此时，我们令

可以得到

故：

所以，正则化之后的损失函数的梯度为

然后通过梯度下降法最小化，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型了。

多分类LR与Softmax回归

　　有了多分类的处理方法，那么我们什么时候该用多分类LR？什么时候要用softmax呢？

总的来说，若待分类的类别互斥，我们就使用Softmax方法；若待分类的类别有相交，我们则要选用多分类LR，然后投票表决。