洛谷 P5249 [LnOI2019]加特林轮盘赌 题解【概率期望】【DP】

很有意思的题目。

题目背景

加特林轮盘赌是一个养生游戏.

题目描述

与俄罗斯轮盘赌等手枪的赌博不同的是，加特林轮盘赌的赌具是加特林。

加特林轮盘赌的规则很简单：在加特林的部分弹夹中填充子弹。游戏的参加者坐在一个圆桌上，轮流把加特林对着自己的头，扣动扳机一秒钟。中枪的自动退出，坚持到最后的就是胜利者。

我们使用的是2019年最新技术的加特林，他的特点是无需预热、子弹无限，每一个人，在每一回合，中枪的概率是完全相同的 \(P_0\)。

每局游戏共有 \(n\) 只长脖子鹿，从1长脖子鹿开始，按照编号顺序从小到大进行游戏，绕着圆桌不断循环。

游戏可能会循环进行多轮，直到场上仅剩下最后一只长脖子鹿时，游戏结束。

给出 \(P_0\) 和 \(n\)，询问 \(k\) 号长脖子鹿最终成为唯一幸存者的概率 \(P_k\)。

输入输出格式

输入格式：

仅一行三个数，\(P_0,n,k\)。

输出格式：

一个浮点数 \(P_k\)，误差应该小于 \(10^{-8}\)。（请保留更多位数的小数）

输入输出样例

输入样例#1：

0.5 2 1

输出样例#1：

0.33333333

输入样例#2：

0.5 2 2

输出样例#2：

0.66666667

输入样例#3：

0.5 3 1

输出样例#3：

0.23809524

输入样例#4：

0.5 3 2

输出样例#4：

0.28571429

说明

对于 \(10\%\) 的数据，\(n\le 100\)。

对于 \(30\%\) 的数据，\(n\le 500\)。

对于另外 \(20\%\) 的数据，\(k=n\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le k\le n\le 10^4,0\le P_0\le 1\)。

题解

首先需要推出DP/递推方程，然后考虑进一步的优化。因为本题有阶段性，姑且称之为DP。

每次枪会对准一个人，这个人有 \(P_0\) 的概率挂掉，此时进入 \(n-1\) 个人的状态。

考虑到枪打人是轮流进行的，先后顺序和位次顺序都是有影响的。因此我们设 \(f[i][j]\) 表示当剩下 \(i\) 个人时，令枪对准的人是第一个人，第 \(j\) 个人作为最后一个人存活下来的概率。

“当前的”第一个人有 \(P_0\) 的概率挂掉。这之后，总人数从 \(i\) 变成了 \(i-1\)，而枪会指向原来第二个人，那么原来的 \(f[i][j]\) 在这样的条件下存活的概率是 \(f[i-1][j-1]\)。记为 \(P_0f[i-1][j-1]\)。

注：条件指条件概率。

在 \(1-P_0\) 的概率下，当前的第一个人不会挂掉，那么总人数不变，枪会指向原来的第二个人，那么第 \(j\) 个人就变成了第 \(j-1\) 个人，原来的 \(f[i][j]\) 在这样的条件下存活的概率是 \(f[i][j-1]\)，记为 \((1-P_0)f[i][j-1]\)。

因此有

\[f[i][j]=P_0f[i-1][j-1]+(1-P_0)f[i][j-1],j\ge 2
\]

这样由于每次在前一个大阶段有了所有的 \(f[i-1]\)，就有了 \(f[i][j],1\le j\le i\) 的 \(i-1\) 个方程。根据逻辑关系我们知道 \(\sum_{j=1}^if[i][j]=1\)，把这个当作第 \(i\) 个方程，这一组 \(f[i]\)就可以解了。

但是高斯消元是 \(O(n^3)\) 的，对于每一行都做，那就是 \(O(n^4)\) 的。实际上每一行可以做到线性。

由于 \(P_0f[i-1][j-1]\) 已知，我们把这个数设为常数 \(d_j\)，则方程为

\[f[i][j]=d_j+(1-P_0)f[i][j-1],j\ge 2
\]

此时可以通过这个式子减小第二维的 \(j​\)，上面有个式子是

\[\sum_{j=1}^if[i][j]=1
\]

把这个式子所有的 \(j\) 都通过上面的方程迭代为 \(f[i][1]\)，方程的形式就变为了 \(a\cdot f[i][1]+b=1\) 的形式，\(a,b\) 都是常数，\(f[i][1]\) 就被解出来了，再通过方程递推即可。

\[\begin{aligned}&f[i][1]&+&f[i][2]&+&\cdots+f[i][i]\\
=&f[i][1]&+&d_2+(1-P_0)f[i][1]&+&\cdots+d_i+(1-P_0)f[i][i-1]
\end{aligned}
\]

针对这个式子，从后往前递归处理就可以得到 \(f[i][1]\) 的系数和常数项了。（实际上从前往后循环也可以，递归更好理解）

注意当 \(P_0=0\) 时，当且仅当 \(n=1\) 有 \(P_1=1\)，其余情况下都不可能成为唯一幸存者，需要特判。

时间复杂度 \(O(n^2)\)。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define db double
db f[10010],d[10010],tmp,sum,p;
db a,b;
//a代表 f(x-1) 中 f1 的系数 b 代表 f(x-1) 的常数项
void calc(int x)
{
    if(x==1)
    {
        a=1;
        tmp=1;
        b=0;
        return;
    }
    calc(x-1);
    //tmp 代表已经积累的 f1 的系数 sum 代表常数项
    tmp+=(1-p)*a;
    sum+=p*d[x]+(1-p)*b;
    a=(1-p)*a;
    b=p*d[x]+(1-p)*b;
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%lf%d%d",&p,&n,&m);
    if(p==0)
    {
        puts(n>1?"0":"1");
        return 0;
    }
    f[1]=1;
    d[2]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        tmp=0.0,sum=0.0;
        calc(i);
        f[1]=(1-sum)/tmp;
        for(int j=2;j<=i;++j)
            f[j]=p*d[j]+(1-p)*f[j-1];
        for(int j=2;j<=i+1;++j)
            d[j]=f[j-1];
    }
    printf("%.10lf\n",f[m]);
    return 0;
}