区间DP入门题目合集

 

区间DP主要思想是先在小区间取得最优解，然后小区间合并时更新大区间的最优解。

 

 

 

基本代码：

//mst(dp,0) 初始化DP数组
for(int i=;i<=n;i++)
{
    dp[i][i]=初始值
}
for(int len=;len<=n;len++)  //区间长度
for(int i=;i<=n;i++)        //枚举起点
{
    int j=i+len-;           //区间终点
    if(j>n) break;           //越界结束
    for(int k=i;k<j;k++)     //枚举分割点，构造状态转移方程
    {
        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+][j]+w[i][j]);
    }
}

 

 

 

 

51Nod - 1021 石子归并（区间DP）

 

【题目描述】

N堆石子摆成一条线。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。

例如： 1 2 3 4，有不少合并方法

1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)

1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)

1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)

 

Sample Input

4
1
2
3
4

Sample Output

19

 

 

预处理出区间和，然后枚举每个长度的区间和断点，转移即可。

f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])

 

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn =  + ;
#define INF 0x3f3f3f3f

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int sum[maxn];
    int f[maxn][maxn];
    memset(f, , sizeof(f));

    for (int i = ; i <= n; i++)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        sum[i] = sum[i-]+x;
    }

    for (int len = ; len <= n; len++)
    {
        for (int i = ; i <= n; i++)
        {
            int j = i+len-;
            f[i][j] = INF;
            for (int k = i; k < j; k++)
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k]+f[k+][j] + sum[j] - sum[i-]);
        }
    }

    printf("%d\n", f[][n]);
}

 

UVA - 10003 Cutting Sticks

题意：

有一根长度为 n 的木棍，m 个可以切开的位置。

如果把一个长木棍切成两根短木棍，那么花费就是那根长木棍的长度。

求把这根木棍按照 m 个切点全部切开的最小花费。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define maxn 100 + 100
#define INF 0x3f3f3f3f

int main()
{
    int n, m;
    while(scanf("%d%d", &n, &m) ==  && n)
    {
        int x[maxn];
        for (int i = ; i <= m; i++)
            scanf("%d", &x[i]);

        x[] = , x[m+] = n;

        int f[maxn][maxn];
        for (int i = ; i <= m+; i++)
        {
            for (int j = ; j <= m+; j++)
                f[i][j] = INF;
            f[i][i+] = ;
        }

        for (int len = ; len <= m+; len++)
            for (int i = ; i+len <= m+; i++)
            {
                int j = i+len;
                for (int k = i+; k < j; k++)
                    f[i][j] = min(f[i][k] + f[k][j] + x[j] - x[i], f[i][j]);
            }

        printf("The minimum cutting is %d.\n", f[][m+]);
    }
}

 

NOIP 2006 提高组 - 能量项链

 

有一串首位相连的环形能量珠项链，每个能量珠由头部和尾部组成。相邻的能量珠必定是某一个的头部 = 另一个的尾部。

可以把两个相邻的能量珠（a,b）（b,c）合成一个新的能量珠（a, c），并且释放 a * b * c的能量。

操作这串能量珠能够获得的最大的总能量是多少？

样例中，四个能量珠分别为(2, 3) (3, 5) (5, 10) (10, 2)

对于环形区间，我们只要把它展开成线形区间进行DP，然后取 dp[i, i+n-1] 中的最大值就可以了。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

#define maxn 200 + 100
#define INF 0x3f3f3f3f

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        int a[maxn], sum[maxn], f[maxn][maxn];
        memset(sum, , sizeof(sum));

        for (int i = ; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            a[n+i] = a[i];
        }
        a[*n+] = a[];

        for (int i = ; i <= *n; i++)
            for (int j = i; j <= *n; j++)
                f[i][j] = ;

        for (int len = ; len <= *n; len++)
            for (int i = ; i+len- <= *n; i++)
            {
                int j = i+len-;
                for (int k = i; k < j; k++)
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + f[k+][j] + a[i]*a[k+]*a[j+]);
            }

        int ans = ;
        for (int i = ; i <= n; i++)
            ans = max(ans, f[i][i+n-]);

        printf("%d\n", ans);

    }

}

HDU - 3506 Monkey Party

也是普通的环形区间DP，拆环为链。

然而这样过不了的。因为数据范围是2000，n^3的DP会TLE。

所以需要用平行四边形优化。

这个玩意我还没有看懂，只是拿过来用。以后慢慢理解。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

#define maxn 2000 + 100
#define INF 0x3f3f3f3f

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        int a[maxn], sum[maxn], f[maxn][maxn], s[maxn][maxn];
        memset(sum, , sizeof(sum));

        for (int i = ; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            a[n+i] = a[i];
        }

        for (int i = ; i <= *n; i++)
            sum[i] = sum[i-] + a[i];

        for (int i = ; i <= *n; i++)
        {
            f[i][i] = ;
            s[i][i] = i; //这里的s数组也要初始化
            for (int j = i+; j <= *n; j++)
                f[i][j] = INF;
        }

        for (int len = ; len <= *n; len++)
            for (int i = ; i+len- <= *n; i++)
            {
                int j = i+len-;
                for (int k = s[i][j-]; k <= s[i+][j]; k++) //单调性枚举
                {
                    int tmp = f[i][k] + f[k+][j] + sum[j] - sum[i-];
                    if (tmp < f[i][j])
                    {
                        f[i][j] = tmp;
                        s[i][j] = k;
                    }
                }
            }

        int ans = INF;
        for (int i = ; i <= n; i++)
            ans = min(ans, f[i][i+n-]);

        printf("%d\n", ans);

    }

}