jzoj5683. 【GDSOI2018模拟4.22】Prime （Min_25筛+拉格朗日插值+主席树）

题面

\(n\leq 10^{12},k\leq 100\)

题解

一眼就是一个\(Min\_25\)筛+拉格朗日插值优化，然而打完之后交上去发现只有\(60\)分

神\(tm\)还要用主席树优化……

大概是这样，设\(g(n,j)\)表示\(1\)到\(n\)之间的所有满足\(i\)是质数或者\(i\)的最小质因子大于\(p_j\)的所有\(f(i)\)之和，我们根据递归地来求解\(g\)，设一个阈值\(L=\sqrt{n}\)，当\(n\leq L\)的时候，用主席树优化，能做到每一次查询只有\(O(\log\sqrt{n})\)

发现这玩意儿和杜教筛很像，所以就当它的复杂度是\(O(n^{\frac{2}{3}})\)好了……我实在算不来……

然而交上去还是\(T\)……你这才发现这题时间和空间都卡得要命……那么只好卡常了……

1.阈值\(L\)开到\(2100000\)左右实测最优，尽量不要开小，会需要多算很多东西，开大的话空间又会不够

2.空间卡着开，不需要多开的就别开了

3.在拉格朗日差值计算\(\sum_{i=2}^mf(i)\)的前缀和的时候，因为涉及到的所有\(m\)只有\(O(\sqrt{n})\)个，对于小于\(L\)的可以打表预处理，对于大于\(L\)的\(m\)我们可以计算之后存起来。设\(x=\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor\)，容易发现这里的\(x\leq \sqrt{n}\)，想想整除分块，发现这里的\(x\)就是最大的满足\(\left\lfloor\frac{n}{x}\right\rfloor=m\)的数，那么每一个\(x\)都和\(m\)是一一对应的，我们就可以把它给存起来

4.还是过不去，吸氧好了

//minamoto
#include<cstdio>
#define R register
#define ll long long
#pragma GCC optimize(3)
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
const int N=2.1e6+5,M=N*18,P=1e9+7;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
int p[N/3],sp[N/3],vis[N],f[N],sum[N],mnp[N],ssr[N],ss[N];
int rt[N],ls[M],rs[M],s[M],fs[109],inv[109];
int k,tot,m,sqr,cnt;ll n;
void ins(int &p,int q,int l,int r,int x,int v){
	s[p=++cnt]=add(s[q],v);if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	x<=mid?(rs[p]=rs[q],ins(ls[p],ls[q],l,mid,x,v)):(ls[p]=ls[q],ins(rs[p],rs[q],mid+1,r,x,v));
}
int query(int p,int l,int r,int x){
	if(!p||l==r)return s[p];
	int mid=(l+r)>>1;
	return x<=mid?add(s[rs[p]],query(ls[p],l,mid,x)):query(rs[p],mid+1,r,x);
}
void init(int n){
	f[0]=sum[0]=P-1;
	fp(i,2,n){
		if(!vis[i])p[++tot]=i,ssr[i]=f[i]=ksm(i,k),sp[tot]=add(sp[tot-1],f[i]);
		for(R int j=1;j<=tot&&1ll*i*p[j]<=n;++j){
			vis[i*p[j]]=1,f[i*p[j]]=mul(f[i],f[p[j]]),mnp[i*p[j]]=j;
			if(i%p[j]==0)break;
		}
	}
	fp(i,2,n){
		sum[i]=add(sum[i-1],f[i]),ssr[i]=add(ssr[i-1],ssr[i]);
		if(rt[i]=rt[i-1],mnp[i])ins(rt[i],rt[i-1],1,tot,mnp[i],f[i]);
	}
	inv[0]=inv[1]=1;fp(i,2,k+5)inv[i]=1ll*(P-P/i)*inv[P%i]%P;
}
int Lar(ll g,int n){
	int k=g%P;
	if(k<=sqr)return sum[k];
	if(ss[::n/g])return ss[::n/g];
	int res=0,tmp=1,ty=(n&1)?P-1:1;
	fp(i,1,n)tmp=mul(tmp,inv[i]);
	fs[n+1]=1;fd(i,n,0)fs[i]=mul(fs[i+1],k-i);
	fp(i,0,n){
		res=add(res,1ll*tmp*ty%P*sum[i]%P*fs[i+1]%P),
		tmp=1ll*tmp*(k-i)%P*(n-i)%P*inv[i+1]%P,
		ty=P-ty;
	}return ss[::n/g]=res;
}
int G(ll n,int m){
	if(n<=sqr&&1ll*p[m+1]*p[m+1]>n)return ssr[n];
	if(n<=sqr)return add(query(rt[n],1,tot,m+1),ssr[n]);
	if(!m)return Lar(n,k+1);
	while(1ll*p[m]*p[m]>n)--m;
	int res=Lar(n,k+1);
	while(m)res=dec(res,1ll*f[p[m]]*dec(G(n/p[m],m-1),sp[m-1])%P),--m;
	return res;
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	freopen("prime.in","r",stdin);
	freopen("prime.out","w",stdout);
	scanf("%lld%d",&n,&k),sqr=2.1e6,init(sqr);
	printf("%d\n",G(n,tot-1));
	return 0;
}