消耗战——dp+虚树

题目

【题目描述】

在一场战争中，战场由 $n$ 个岛屿和 $n-1$ 个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为 $1$ 的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他 $k$ 个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。

侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到 $1$ 号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用 $m$ 次，所以我们只需要把每次任务完成即可。

【输入格式】

第一行一个整数 $n$ ，代表岛屿数量。

接下来 $n-1$ 行，每行三个整数 $u,v,w$ ，代表 $u$ 号岛屿和 $v$ 号岛屿由一条代价为 $c$ 的桥梁直接相连，保证 $1 \le u,v \le n$ 且 $1 \le c \le 100000 $ 。

第 $n+1$ 行，一个整数 $m$ ，代表敌方机器能使用的次数。

接下来 $m$ 行，每行一个整数 $k_i$ ，代表第 $i$ 次后，有 $k_i$ 个岛屿资源丰富，接下来 $k$ 个整数$h_1,h_2,…h_k$ ，表示资源丰富岛屿的编号。

【输出格式】
输出有 $m$ 行，分别代表每次任务的最小代价。
【样例输入】

10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6

【样例输出】

12
32
22

【数据范围与提示】
对于100%的数据， $2 \le n \le 250000,m \ge 1, \sum{k_i} \le 500000,1 \le k_i \le n-1 $

题解

考虑树形 dp，记 $ g[i] $ 表示将 $ i $ 及其子树断开的最小代价，然后发现效率过不去

因为 $ \sum k \leq 5 \times 10^5 $，考虑构造虚树，然后直接 dp 即可

时间效率：$ O(2\log n\times \sum k) $，因为一棵虚树最多只有 $ 2k $ 个点，查询 LCA 的效率为 $ O(\log n) $

构造虚树：https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9175152.html

代码

 #include<bits/stdc++.h>
 #define LL long long
 #define pb push_back
 #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
 using namespace std;
 int R(){
     int x;bool f=;char ch;_(!)if(ch=='-')f=;x=ch^;
     _()x=(x<<)+(x<<)+(ch^);return f?x:-x;}
 const int N=2.5e5+;
 int n,m,f[N][],head[N],cnt,dfn[N],dep[N],a[N],sta[N],top,tot,lg;
 LL g[N];
 vector<int>G[N];
 struct edge{int to,nex;LL w;}e[N<<];
 bool cmp(int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];}
 void add(int s,int t,int w){e[++cnt]=(edge){t,head[s],w},head[s]=cnt;}
 void dfs(int u,int far){
     dfn[u]=++tot,f[u][]=far,dep[u]=dep[far]+;
     for(int i=;i<=lg;i++)f[u][i]=f[f[u][i-]][i-];
     for(int k=head[u],v;k;k=e[k].nex)
         if((v=e[k].to)!=far)
             g[v]=min(g[u],e[k].w),dfs(v,u);
 }
 int lca(int x,int y){
     if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
     int i=lg;
     while(dep[x]<dep[y]){
         while(i&&dep[x]>dep[f[y][i]])i--;
         y=f[y][i];}
     i=lg;
     while(x!=y){
         while(i>&&f[x][i]==f[y][i])i--;
         x=f[x][i],y=f[y][i];}
     return x;
 }
 void insert(int x){
     if(top==){sta[++top]=x;return;}
     int far=lca(x,sta[top]);
     if(far==sta[top])return;
     while(top>&&dfn[sta[top-]]>=dfn[far])
         G[sta[top-]].pb(sta[top]),top--;
     if(far!=sta[top])G[far].pb(sta[top]),sta[top]=far;
     sta[++top]=x;
     return;
 }
 LL work(int x){
     if(!G[x].size())return g[x];
     LL sum=;
     for(int i=G[x].size()-;~i;i--)
         sum+=work(G[x][i]);
     G[x].clear();
     return min(sum,(LL)g[x]);
 }
 int main(){
     memset(g,0x3f,sizeof g);
     n=R(),lg=log2(n)+;
     for(int i=,u,v,w;i<n;i++)
         u=R(),v=R(),w=R(),add(u,v,w),add(v,u,w);
     dfs(,);
     for(int q=R();q--;){
         m=R();
         for(int i=;i<=m;i++)a[i]=R();
         sort(a+,a++m,cmp);
         sta[top=]=;
         for(int i=;i<=m;i++)insert(a[i]);
         while(top)G[sta[top-]].pb(sta[top]),top--;
         printf("%lld\n",work());
     }
     return ;
 }