Project Euler 82：Path sum: three ways 路径和：3个方向

Path sum: three ways

NOTE: This problem is a more challenging version of Problem 81.

The minimal path sum in the 5 by 5 matrix below, by starting in any cell in the left column and finishing in any cell in the right column, and only moving up, down, and right, is indicated in red and bold; the sum is equal to 994.

131	673	234	103	18
201	96	342	965	150
630	803	746	422	111
537	699	497	121	956
805	732	524	37	331

Find the minimal path sum, in matrix.txt (right click and “Save Link/Target As…”), a 31K text file containing a 80 by 80 matrix, from the left column to the right column.

---

路径和：三个方向

注意：这是第81题的一个更具挑战性的版本。

在如下的5乘5矩阵中，从最左栏任意一格出发，始终只向右、向上或向下移动，到最右栏任意一格结束的最小路径和为994，由标注红色的路径给出。

131	673	234	103	18
201	96	342	965	150
630	803	746	422	111
537	699	497	121	956
805	732	524	37	331

在这个31K的文本文件matrix.txt（右击并选择“目标另存为……”）中包含了一个80乘80的矩阵，求出从最左栏到最右栏的最小路径和。

 解题

第一反应是不知如何下手，上一题那种类型的见过好多，立马知道怎么做了

参考博客1  参考博客2

先举个例子说明

(0,0)	(0,1)	(0,2)	(0,3)	(0,4)
(1,0)	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)
(2,0)	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)
(3,0)	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)
(4,0)	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)

如上图的4x4的矩阵

定义ans数组：ans数组是矩阵最后一列的元素值，长度是5，如：ans[0] = A[0,4],ans[1]=A[1,4] ,ans[2]=A[2,4],ans[3]=A[3,4],ans[4]=A[4,4]

ans[i]表示的是走到i行时候的最小路径，这里隐藏了列的信息，ans是变换的

从最后一列开始，向前一列”走“，这里的走包括直接左走和经过上或者下走的的结果。我们要求的是所走的路径的最小值。

先考虑向下走和直接左走的情况：

走到A[0,3]，只有从A[0,4]直接左走，ans[0] = ans[0] + A[0,3]

走到A[1,3]，其走的最小值应该是：ans[1] = MIN(ans[0]+A[1,3],ans[1]+A[1,3]),一个是经过A[0,3]到达A[1,3] 一个是直接左走

走到A[2,3]，其走的最小值应该是: ans[2] = MIN(ans[1]+A[2,3],ans[2] +A[1,3]),一个是走到A[1,3]的最小路径再走到A[2,3]，一个是前一个最小路径直接左走过来的

走到A[3,3],  其走的最小值应该是：ans[3] = MIN(ans[2]+A[3,3],ans[3] +A[3,3]),一个是走到A[2,3]的最小路径再走到A[2,4]，一个是前一个最小路径直接左走过来的

同理

ans[4] = MIN(ans[3]+A[4,3],ans[4]+A[4,3])

对于向上走的情况

我们要从A[4,3]开始向上走,主要这里的直接向左走的上面已经走了，只需要考虑向上走的和上面走的结果的最小值即可

走到A[3,3],走的最小值应该是：ans[3] = MIN(ans[3],ans[4]+A[3,3]) 一个是下左走的最小值，一个是下面节点向上走的最小值+当前节点的值

走到A[2,3],走的最小值应该是：ans[2] = MIN(ans[2],ans[3]+A[2,3])

走到A[1,3],走的最小值应该是：ans[1] = MIN(ans[1],ans[2]+A[1,3])

走到A[0,3],走的最小值应该是：ans[0] = MIN(ans[0],ans[1]+A[0,3])

这样从最后一列，慢慢的向前走，走到了前一列，ans的值全部更新，继续走，当走到最后的时候，ans中的最小值就是最小路径。注意：ans[i]始终是保存的走到行某列时候的最小值

Java

package Level3;

import java.io.BufferedReader;
import java.io.FileReader;
import java.io.IOException;
import java.util.ArrayList;

public class PE082{

    static int[][] grid;
    static void run() throws IOException{
        String filename = "src/Level3/p082_matrix.txt";
        String lineString = "";
        ArrayList<String> listData = new ArrayList<String>();
        BufferedReader data = new BufferedReader(new FileReader(filename));
        while((lineString = data.readLine())!= null){
            listData.add(lineString);
        }
        // 分配大小空间的 定义的grid 没有定义大小
        assignArray(listData.size());
        // 按照行添加到数组grid中
        for(int index = 0,row_counter=0;index <=listData.size() - 1;++index,row_counter++){
            populateArray(listData.get(index),row_counter);
        }
        System.out.println(Path_min(grid));

    }
    public static int Path_min(int[][] data){
        int size = data.length;
        int ans[] = new int[size];
        for(int i =0;i<size;i++)
            ans[i] = data[i][size-1];
        // 最后一类的前一个路径一定是同行的前一列
        for(int index = size -2;index>=0;index--){
            ans[0] += data[0][index];
            // 向下
            for(int innerIndex = 1;innerIndex<size;innerIndex++){
                ans[innerIndex] = Math.min(ans[innerIndex]+data[innerIndex][index],
                        ans[innerIndex-1]+data[innerIndex][index]);
            }
            // 向上
            for(int innerIndex = size-2;innerIndex>=0;innerIndex--){
                ans[innerIndex] = Math.min(ans[innerIndex],
                        ans[innerIndex+1]+data[innerIndex][index]);
            }
        }
        int MIN = Integer.MAX_VALUE;
        for(int i = 0;i<size;i++)
            if(MIN>ans[i])
                MIN = ans[i];
        return MIN;
    }
    // 每行的数据添加到数组中
    public static void populateArray(String str,int row){
        int counter = 0;
        String[] data = str.split(",");
        for(int index = 0;index<=data.length -1;++index){
            grid[row][counter++] = Integer.parseInt(data[index]);
        }
    }
    public static void assignArray(int no_of_row){
        grid = new int[no_of_row][no_of_row];
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException{
        long t0 = System.currentTimeMillis();
        run();
        long t1 = System.currentTimeMillis();
        long t = t1 - t0;
        System.out.println("running time="+t/1000+"s"+t%1000+"ms");
//        260324
//        running time=0s31ms
    }
}

Java Code

Python

import time ;
import numpy as np

def run():
    filename = 'E:/java/projecteuler/src/Level3/p082_matrix.txt'
    data = readData(filename)
    Path_Sum(data)

def Path_Sum(data):
    size,size = np.shape(data)
    ans = [data[i][size-1] for i in range(size)]
    for i in range(size-2,-1,-1):
        ans[0] = ans[0] + data[0][i]
        for j in range(1,size):
            ans[j] = min(ans[j]+data[j][i],ans[j-1]+data[j][i])
        for j in range(size-2,-1,-1):
            ans[j] = min(ans[j],ans[j+1]+data[j][i])
    print min(ans)

def readData(filename):
    fl = open(filename)
    data =[]
    for row in fl:
        row = row.split(',')
        line = [int(i) for i in row]
        data.append(line)
    return data
if __name__=='__main__':
    t0 = time.time()
    run()
    t1 = time.time()
    print "running time=",(t1-t0),"s"

#
# running time= 0.0150001049042 s
            

Python Code

在上面的求解过程中，好像和三角数求最小路径的过程很相似，这里给的是个矩阵，会有很多三角形。哦哦哦哦，用三角形最小路径解题很复杂。。。首先要保存原始矩阵数据，就没有其次了。