数理方程：Fourier变换与卷积

更新：1 APR 2016

关于傅里叶级数参看数理方程：Fourier级数

Fourier变换：

对于满足Dirichlet条件的函数\(f(t)\)在其连续点处定义

\(F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt\)

则\(f(t)\)可变换为

\(f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{\mathrm{i}\omega t}d \omega\)

此即Fourier变换，是一种函数空间中的一一映射，记作

\(F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)],\qquad f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]\)

 

Fourier变换的基本性质：

1. 线性

\(\mathscr{F}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha \mathscr{F}[f_1(t)]+\beta \mathscr{F}[f_2(t)]\)

2. 微分性

(1) \(\mathscr{F}[f’(t)]=\mathrm{i}\omega\mathscr{F}[f(t)]\)

(2) \(\dfrac{d}{d\omega}\mathscr{F}[f(t)]=\mathscr{F}[-\mathrm{i}tf(t)]\)

3. 积分性

若当\(t \rightarrow +\infty\)时，\(g(t)=\int_{-\infty}^tf(a)da \rightarrow 0\)，则

\(\mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^tf(a)da\right]=\dfrac{1}{\mathrm{i}\omega}\mathscr{F}[f(t)]\)

 

卷积

卷积为定义在函数空间上的二元运算。对于函数\(f_1(t)\)，\(f_2(t)\)，定义卷积运算\(*\)

\(f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau\)

卷积运算满足交换律、结合律、对加法的分配律。

 

卷积定理

若\(f_1(t)\)，\(f_2(t)\)可以进行Fourier变换，则

\(\mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=\mathscr{F}[f_1(t)]\mathscr{F}[f_2(t)]\)

将卷积运算和乘法运算互换。

在数理方程中可以用来解决较难逆变换的函数——分解因式以简化变换。