【数位dp】bzoj3209: 花神的数论题

Description

背景
众所周知，花神多年来凭借无边的神力狂虐各大 OJ、OI、CF、TC …… 当然也包括 CH 啦。
描述
话说花神这天又来讲课了。课后照例有超级难的神题啦…… 我等蒟蒻又遭殃了。
花神的题目是这样的
设 sum(i) 表示 i 的二进制表示中 1 的个数。给出一个正整数 N ，花神要问你
派(Sum(i)),也就是 sum(1)—sum(N) 的乘积。

Input

一个正整数 N。

Output

一个数，答案模 10000007 的值。

Sample Input

样例输入一
3

Sample Output

样例输出一

2

HINT

对于样例一，1*1*2=2；

数据范围与约定

对于 100% 的数据，N≤10^15

---

题目分析

是一道入门的数位dp（组合数）题。

但是这题结合了很多出题人的恶意，并且具有一定的启示作用。

 #include<bits/stdc++.h>
 const int MO = ;

 int ans,pre;
 int f[][];
 int digit[];
 long long n;

 int qmi(int a, int b)
 {
     int ret = ;
     while (b)
     {
         if (b&) ret = 1ll*ret*a%MO;
         a = 1ll*a*a%MO;
         b >>= ;
     }
     return ret;
 }
 int main()
 {
     scanf("%lld",&n);
     f[][] = , ans = ;
     for (n++; n; n>>=) digit[++digit[]] = n&;
     for (int i=; i<=digit[]; i++)
     {
         f[i][] = ;
         for (int j=; j<=i; j++)
             f[i][j] = f[i-][j]+f[i-][j-];　　　　//预处理组合数
     }
     for (int i=digit[]; i; i--)
         if (digit[i]){
             for (int j=i-; j>=; j--)
                 ans = 1ll*ans*qmi(pre+j, f[i-][j])%MO;
             pre++;
         }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

最初会自然地想到上面这种dp方法。

但是！这里的细节显然崩坏了。

二进制拆分

 int digit[];

二进制拆分时候$digit[]$干嘛开这么小啊……注意要大概开个三倍。

组合数取模

     for (int i=; i<=digit[]; i++)
     {
         f[i][] = ;
         for (int j=; j<=i; j++)
             f[i][j] = f[i-][j]+f[i-][j-];
     }

这里组合数不取模显然是会溢出的。但是，重点是取什么模呢？可能会不假思索地%1e7+7，然而实际上1e7+7并不是一个素数，所以这里要回到欧拉定理，我们有$φ(1e7+7)=9988440$。再者就是注意这里只有组合数需要对$φ(1e7+7)$取模。

溢出会RE；或是莫名其妙TLE。

dp的转移

     for (int i=digit[]; i; i--)
         if (digit[i]){
             for (int j=i-; j>=; j--)
                 ans = 1ll*ans*qmi(pre+j, f[i-][j])%MO;
             pre++;
         }

注意到这里内层的$j>=1$，但是由于后面的元素可以不选，事实上$j$应该$>=0$才对。

手调时候会发现当$j=0,pre=0$时，$ans$就等于0了。

所以还要在快速幂里特判一层： if (!a) return ; 。

正确代码

 #include<bits/stdc++.h>
 const int MO = ;

 int ans,pre;
 int f[][];
 int digit[];
 long long n;

 int qmi(int a, int b)
 {
     if (!a) return ;
     int ret = ;
     while (b)
     {
         if (b&) ret = 1ll*ret*a%MO;
         a = 1ll*a*a%MO;
         b >>= ;
     }
     return ret;
 }
 int main()
 {
     scanf("%lld",&n);
     f[][] = , ans = ;
     for (n++; n; n>>=) digit[++digit[]] = n&;
     for (int i=; i<=digit[]; i++)
     {
         f[i][] = ;
         for (int j=; j<=i; j++)
             f[i][j] = (f[i-][j]+f[i-][j-])%;
     }
     for (int i=digit[]; i; i--)
         if (digit[i]){
             for (int j=i-; j>=; j--)
                 ans = 1ll*ans*qmi(pre+j, f[i-][j])%MO;
             pre++;
         }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

END