BZOJ 5381 or & Codeforces 623E Transforming Sequence DP+NTT

两道题题意都是一样的 不过\(CF\)的模数是\(10^9+7\)

很简单的分析发现\(A_i\)项一定要有一个之前没有出现过的二进制位才能满足条件 考虑\(DP\)来做

设\(f_{i,j}\)表示\(i\)个数用了二进制位上的\(j\)个位置后满足要求的方案数

转移式为:\(f_{a+b,j}=\binom{j}{k} f_{a,k} \times (2^k)^{b}f_{b,j-k}\)

即前\(a\)个数用去\(k\)位 后\(b\)个数用去\(j-k\)位 并且对于之前用过的\(k\)位也可以随意取

上式可化为：\(\frac{ f_{a+b , j } } { j \! } = \frac { f_{ a , k } (2^ k ) ^ b} { k \! } \times \frac{ f_{ b, j - k } } { ( j - k ) \! }\)

这个式子很显然可以\(NTT\)来搞

实现的时候写成类似快速幂的形式就可以过了 对于\(CF\)的模数 可以写写一个任意模数\(FFT\) 算\(7\)次就可以了(我的精度简直醉了)

\(BZOJ5381\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
#define pa pair<int,int>
#define mod 998244353
#define ll long long
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define cl(x) memset(x,0,sizeof x)
#ifdef Devil_Gary
#define bug(x) cout<<(#x)<<" "<<(x)<<endl
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#else
#define bug(x)
#define debug(...)
#endif

const int INF = 0x7fffffff;
const int N=1e5+5;
int M,l,n,m,A[N],B[N],r[N];
int k,b,f[N],g[N],c[N],fac[N],inv[N],ans;
int poww(int x,int y){
	int ans=1;
	while(y){
		if(y&1) ans=(ll)ans*x%mod;
		y>>=1,x=(ll)x*x%mod;
	}
	return ans;
}
void NTT(int*A,int f){
	for(int i=0;i<=M;i++) if(r[i]>i) swap(A[i],A[r[i]]);
	for(int i=1;i<M;i<<=1){
		int wn=poww(3,(mod-1)/i/2);
		if(f==-1) wn=poww(wn,mod-2);
		for(int j=0;j<M;j+=(i<<1)){
			int w=1;
			for(int k=0;k<i;k++,w=(ll)w*wn%mod){
				int x=A[j+k],y=(ll)w*A[i+j+k]%mod;
				A[j+k]=(x+y)%mod,A[i+j+k]=(x+mod-y)%mod;
			}
		}
	}
	if(f==-1){
//		reverse(A+1,A+M);
		int inv=poww(M,mod-2);
		for(int i=0;i<=M;i++) A[i]=(ll)A[i]*inv%mod;
	}
}
void init(){
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
	for(int i=2;i<N;i++) inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(int i=2;i<N;i++) inv[i]=(ll)inv[i]*inv[i-1]%mod;
}
void NTT_MOD(int*a,int*b,int n){
	cl(A),cl(B);
	for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1),NTT(B,1);
	for(int i=0;i<M;i++) A[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod;
	NTT(A,-1);
	for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=A[i];
}
void work(int*a,int*b,int n,int p){
	int t=1;
	cl(c);
	for(int i=0;i<=n;i++) c[i]=(ll)a[i]*t%mod,t=(ll)t*p%mod;
	NTT_MOD(c,b,n);
	memcpy(a,c,sizeof c);
}
int Calc(int n,int m){
	return (ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main(){
#ifdef Devil_Gary
	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
	cin>>n>>k;
	for(M=1;M<=k+k;M<<=1,l++);
	for(int i=0;i<M;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	init(),g[0]=1,b=2;
	for(int i=1;i<=k;i++) f[i]=inv[i];
	while(n){
		if(n&1) work(g,f,k,b);
		n>>=1,work(f,f,k,b),b=(ll)b*b%mod;
	}
	for(int i=n;i<=k;i++) (ans+=(ll)g[i]*fac[i]%mod*Calc(k,i)%mod)%=mod;
	printf("%d\n",ans);
}

\(CF623E\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
#define pa pair<int,int>
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define cl(x) memset(x,0,sizeof x)
#ifdef Devil_Gary
#define bug(x) cout<<(#x)<<" "<<(x)<<endl
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#else
#define bug(x)
#define debug(...)
#endif

const int INF = 0x7fffffff;
const int N=1e5+5;
struct Cp{
	double x,y;
	Cp (double _x=0,double _y=0) { x=_x,y=_y;}
	Cp operator + (const Cp &ch){ return Cp(x+ch.x,y+ch.y); }
	Cp operator - (const Cp &ch){ return Cp(x-ch.x,y-ch.y); }
	Cp operator * (const Cp &ch){ return Cp(x*ch.x-y*ch.y,x*ch.y+y*ch.x); }
}A[N],B[N],C[N],D[N],w,w0,tmp,wi[16][65536];;
int M,l,r[N];
#define pi acos(-1.0)
void FFT(Cp *A,int f){
	for(int i=0;i<M;i++) if(r[i]>i) swap(A[r[i]],A[i]);
	int gg=0;
	for(int i=1;i<M;i<<=1){
		w.x=cos(pi/i),w.y=sin(pi/i)*f;
		for(int j=0;j<M;j+=(i<<1)){
			for(int k=0;k<i;k++){
				w0=wi[gg][k],w0.y*=f;
				Cp x=A[j+k],y=w0*A[i+j+k];
				A[j+k]=x+y,A[i+j+k]=x-y;
			}
		}
		gg++;
	}
	if(f==-1) for(int i=0;i<M;i++) A[i].x/=M;
}
ll n;
int k,b,f[N],g[N],fac[N],inv[N],ans;
void init(){
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
	for(int i=2;i<N;i++) inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(int i=2;i<N;i++) inv[i]=(ll)inv[i]*inv[i-1]%mod;
    int k=0;
    for(int i=2;i<=N;i<<=1){
        for(int j=0;j<i;j++)wi[k][j]=Cp(cos(j*pi/(i/2)),sin(j*pi/(i/2)));
        k++;
    }
}
void FFT_MOD(int*a,int*b,int n){
	cl(A),cl(B),cl(C),cl(D);
	for(int i=0;i<M;i++){
		A[i].x=a[i]>>15;
		B[i].x=a[i]&32767;
		C[i].x=b[i]>>15;
		D[i].x=b[i]&32767;
	}
	FFT(A,1),FFT(B,1),FFT(C,1),FFT(D,1);
	for(int i=0;i<M;i++){
		tmp=A[i]*D[i]+B[i]*C[i];
		A[i]=A[i]*C[i];
		C[i]=B[i]*D[i];
		B[i]=tmp;
	}
	FFT(A,-1),FFT(B,-1),FFT(C,-1),cl(a);
	for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=((llround(A[i].x)%mod<<30)+(llround(B[i].x)%mod<<15)+llround(C[i].x)%mod)%mod;
}
int c[N];
void work(int*a,int*b,int n,int p){
	int t=1;
	cl(c);
	for(int i=0;i<=n;i++) c[i]=(ll)a[i]*t%mod,t=(ll)t*p%mod;
	FFT_MOD(c,b,n);
	memcpy(a,c,sizeof c);
}
int Calc(int n,int m){
	return (ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main(){
#ifdef Devil_Gary
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
	cin>>n>>k;
	if(n>k) return puts("0"),0;
	for(M=1;M<=k+k;M<<=1,l++);
	for(int i=0;i<M;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	init(),g[0]=1,b=2;
	for(int i=1;i<=k;i++) f[i]=inv[i];
	while(n){
		if(n&1) work(g,f,k,b);
		n>>=1,work(f,f,k,b),b=(ll)b*b%mod;
	}
	for(int i=n;i<=k;i++) (ans+=(ll)g[i]*fac[i]%mod*Calc(k,i)%mod)%=mod;
	printf("%d\n",ans);
}