P5290 [十二省联考2019]春节十二响

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骗分方法

如果你实在一点思路也没有，暴力都不会打，那么请考虑一下骗分。

方法一

输出所有 $M$ 的和。

期望得分：0分。

~~实际还有5分~~

方法二

注意到有 $15$ 分为一条链，分两种情况考虑：

1号点有一个儿子——详见方法一。
1号点有两个儿子——把对这两个儿子下的两条链弄成两个堆，每次取出两个堆的堆顶，取 $max$ 加入答案，当一个堆取尽后，把另一个堆里的所有元素加入答案，最后加入 $M_1$ 。

期望得分：15分。

暴力方法

如果你的暴力时间复杂度很低并且常数很优秀，那么拿到一道题的大部分分数是很容易的。

方法三

可以写一个很高超的纯暴搜过掉数据较小的2~4个点。

~~然而说实话这道题写纯暴搜的难道貌似大于写正解2333~~

时间复杂度：不详。

期望得分：10~20分。

方法四

如果两个点是祖先后代关系，则在这两点之间连边，最终会形成一个 $n$ 个点的图。则答案是这个图的一个最大独立集。

图的最大独立集是 NPC 问题，最快的方法貌似是状压， $O(3^n)$ 。

期望得分：45分。

方法五

借用方法四的思想，如果 $x,y$ 是祖先后代关系，则 $a_{x,y}$ 为 $1$ ，否则为 $0$ ，这样可以构造出来一个 $n \times n$ 的 01 矩阵。

按 $M$ 值从大到小贪心地选。每选择一个就再从大到小把能选的都选上，然后把选择的这个的 $M$ 值加入答案。

由于每次选完之后都要更新可选的集合，这个更新是 $O(n)$ 的，而每次选择一个之后，还有要从大到小把能选的都选上，这个过程也是 $O(n)$ 的，一共要进行 $O(n)$ 次选择，所以总时间复杂度为 $O(n^3)$ 的。

期望得分：45分。

方法六

从方法四的 $O(3^n)$ 到方法五 $O(n^3)$ ，期望得分没变海星。

考虑优化方法五，我们在方法五中看到这两个词：01 矩阵，集合。尝试用 bitset 优化，时间复杂度严格来讲没变，但是常数变成原来的 $\frac{1}{64}$ 。

期望得分：60分。

方法七

换一种思路。

考虑类似方法二的第 $2$ 种情况合并两颗子树。

时间复杂度： $O(n^2)$ 。

期望得分：60分。

考场代码

我在考场上写出来的代码是方法六和方法二的结合版，得分为 $75$ 分。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<int, int>
#define mp make_pair
using namespace std;
const int N = 2e5 + 6;
int n, a[N], f[N];
ll ans = 0;

inline int rd() {
    int x = 0;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
    while (ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + (ch - '0'), ch = getchar();
    return x;
}

inline bool pd1() {
    for (int i = 2; i <= n; i++) if (f[i] != i - 1) return 0;
    return 1;
}

inline void P101112_1() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans += a[i];
    cout << ans << endl;
}

namespace P101112_2 {
    int deg[N];

    inline bool pd() {
        for (int i = 2; i <= n; i++) ++deg[f[i]];
        if (deg[1] != 2) return 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) if (deg[i] > 1) return 0;
        return 1;
    }

    int son[N];
    priority_queue<int> q[2];

    inline void work() {
        int g[2], t = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            if (f[i] == 1) g[t++] = i;
            else son[f[i]] = i;
        ans = a[1];
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            int x = g[i];
            while (x) q[i].push(a[x]), x = son[x];
        }
        while (q[0].size() && q[1].size())
            ans += max(q[0].top(), q[1].top()), q[0].pop(), q[1].pop();
        for (int i = 0; i < 2; i++)
            if (q[i].size())
                while (q[i].size()) ans += q[i].top(), q[i].pop();
        cout << ans << endl;
    }
}

namespace TX {
    const int M = 2e3 + 6;
    bitset<M> b[M], o, v;
    vector<int> e[M];
    int st[M], top = 0, p[M];
    pii g[M];

    void dfs(int x) {
        b[p[x]] = o;
        for (int i = 1; i <= top; i++) b[p[st[i]]][p[x]] = 0;
        st[++top] = x;
        o[p[x]] = 0;
        for (unsigned int i = 0; i < e[x].size(); i++) {
            int y = e[x][i];
            if (!o[p[y]]) continue;
            dfs(y);
        }
        o[p[x]] = 1;
        --top;
    }

    inline void work() {
        for (int i = 2; i <= n; i++) e[f[i]].push_back(i);
        for (int i = 1; i <= n; i++) g[i] = mp(a[i], i);
        sort(g + 1, g + n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) p[g[i].second] = i;
        o.set();
        dfs(1);
        v.reset();
        for (int i = n; i; i--) {
            if (v[i]) continue;
            o = b[i];
            ans += g[i].first;
            v[i] = 1;
            for (int j = i - 1; j; j--)
                if (o[j] && !v[j]) {
                    v[j] = 1;
                    o &= b[j];
                }
        }
        cout << ans << endl;
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = rd();
    for (int i = 2; i <= n; i++) f[i] = rd();
    if (pd1()) {
        P101112_1();
        return 0;
    }
    if (P101112_2::pd()) {
        P101112_2::work();
        return 0;
    }
    if (n < 2001) {
        TX::work();
        return 0;
    }
    return 0;
}

正确方法

方法八

方法七是 $O(n^2)$ 的，思考瓶颈在哪儿？

合并两颗子树 $x,y$ 时，我们相当于进行了 $O(max(size_x,size_y))$ 。

能否将复杂度降到 $O(min(size_x,size_y))$ ？

先考虑降复杂度之后，总的时间复杂度是多少？

降复杂度之后，相当于每一次合并，用 $O(min(size_x,size_y))$ 扔掉了 $min(size_x,size_y)$ 个元素。换句话说，扔掉一个元素是 $O(1)$ 的。我们要把 $n$ 个元素经过若干次合并，扔掉 $O(n)$ 个元素，最终剩下 $1$ 个元素。那么扔元素的复杂度为 $O(n)$ ，考虑堆的影响，总时间复杂度为 $O(n\ log\ n)$ 。

时间复杂度满足限制，可以放心的回去考虑如何降复杂度了。

当我们取完 $min(size_x,size_y)$ 个元素后，一个堆是空的，另一个堆还剩下一些元素。

那我们直接把刚才取出来的元素再塞到非空的那个堆中不就完了么？

~~蛤？正解这么暴力？~~

我再告诉你，这个正解还有个好听的名字：启发式合并。

代码实现细节

有一个小细节是，代码实现中会出现 swap 两个堆的情况。

在 ouuan 的博客十二省联考2019 游记 & 题解中，对此有这样的说法：

swap 在不开 C++11 的情况下是 $O(n)$ 的，开 C++11 则是 $O(1)$ 的，如果不开 C++11 可以记录 id 然后交换 id 。

~~最终的代码真心好写而且好短QwQ~~

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 6;
int n, a[N], f;
vector<int> e[N], o;
priority_queue<int> q[N];

inline void merge(int x, int y) {
    if (q[x].size() < q[y].size()) swap(q[x], q[y]);
    while (q[y].size()) {
        o.push_back(max(q[x].top(), q[y].top()));
        q[x].pop(), q[y].pop();
    }
    while (o.size()) q[x].push(o.back()), o.pop_back();
}

void dfs(int x) {
    for (unsigned int i = 0; i < e[x].size(); i++)
        dfs(e[x][i]), merge(x, e[x][i]);
    q[x].push(a[x]);
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 2; i <= n; i++) scanf("%d", &f), e[f].push_back(i);
    dfs(1);
    long long ans = 0;
    while (q[1].size()) ans += q[1].top(), q[1].pop();
    cout << ans << endl;
    return 0;
}