[网络流24题] 太空飞行计划问题 (最大流->最大权闭合图)

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做这道题之前建议先看这篇论文，虽然论文里很多地方用了很多术语，但hbt神犇讲得很明白

这篇题解更加偏向于感性理解

把问题放到二分图上，左侧一列点是实验，权值为$p[i]$，右侧一列点是仪器，权值为$c[i]$，左侧向右侧连接了许多条出边

如果想获得$p[i]$，需要保证i的所有出边都被选上了

按照论文里最大权闭合图的做法，实验和源点$s$相连，流量为$p[i]$，仪器和汇点$t$相连，流量为$c[i]$，实验和仪器之间的边流量为$inf$

最终的答案就是实验带来的报酬总和-这个图的最大流，即报酬总和去掉 报酬填补费用的总和 ，就是净收益

我们如何比较感性地理解它呢

求最大流的过程，可以看成用实验的钱消去仪器的钱的过程

而有一些实验可能先被遍历到，而这次实验的报酬小于所需仪器的总花费，即这次实验有点亏，但买了给其他实验用的仪器，而其他实验可以把这些钱补回来

在图上的体现就是，有其他实验的流量沿着反向边流向了这次实验

通过求最小割，我们把图分割成了两块，一块包含源点，一块包含汇点

源点指向的每个联通块中，都至少存在一个点，源点向它的流量$>0$，那么这个联通块里的实验仪器组合才是获利的

那么最终答案就是总获利-最大流，方案就是再进行一次$bfs$，$dep$有值的点，即和源点在同一联通块里的点。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define N1 350
 #define M1 3010
 #define ll long long
 #define dd double
 #define inf 0x3f3f3f3f
 using namespace std;

 int gint()
 {
     int ret=,fh=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')fh=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){ret=ret*+c-'';c=getchar();}
     return ret*fh;
 }

 int n,m,nm,S,T;
 int p[N1],c[N1];
 struct Edge{
 int head[N1],to[M1<<],nxt[M1<<],flow[M1<<],cte;
 void ae(int u,int v,int F)
 {
     cte++; to[cte]=v; flow[cte]=F;
     nxt[cte]=head[u]; head[u]=cte;
 }
 }e;

 int que[M1],hd,tl,dep[N1],cur[N1];
 int bfs(Edge &E)
 {
     int x,j,v;
     memset(dep,-,sizeof(dep)); memcpy(cur,E.head,sizeof(cur));
     hd=,tl=; que[++tl]=S; dep[S]=;
     while(hd<=tl)
     {
         x=que[hd++];
         for(j=E.head[x];j;j=E.nxt[j])
         {
             v=E.to[j]; if(dep[v]!=-||!E.flow[j]) continue;
             dep[v]=dep[x]+; que[++tl]=v;
         }
     }
     return dep[T]!=-;
 }
 int dfs(Edge &E,int x,int limit)
 {
     int j,v,flow,ans=; if(x==T||!limit) return limit;
     for(j=cur[x];j;j=E.nxt[j])
     {
         cur[x]=j; v=E.to[j];
         if( dep[v]==dep[x]+ && (flow=dfs(E,v,min(E.flow[j],limit))) )
         {
             limit-=flow; ans+=flow;
             E.flow[j]-=flow; E.flow[j^]+=flow;
             if(!limit) break;
         }
     }
     return ans;
 }
 int use[N1],de;
 void Dinic()
 {
     int mxflow=,x,j,v,i,flag,sum=;
     for(i=;i<=m;i++) sum+=p[i];
     while(bfs(e)) mxflow+=dfs(e,S,inf);
     bfs(e);
     for(i=;i<=m;i++) if(dep[i]!=-) printf("%d ",i); puts("");
     for(i=m+;i<=m+n;i++) if(dep[i]!=-) printf("%d ",i-m); puts("");
     printf("%d\n",sum-mxflow);
 }

 char str[];
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&m,&n);
     int i,j,x,y,flag,slen; S=m+n+,T=m+n+; e.cte=;
     for(i=,slen=;i<=m;i++)
     {
         p[i]=gint(); e.ae(S,i,p[i]), e.ae(i,S,);
         memset(str,,sizeof(str)); cin.getline(str,); slen=;
         while(sscanf(str+slen,"%d",&x)==)
         {
             e.ae(i,x+m,inf); e.ae(x+m,i,);
             if(!x) slen++;
             else{ while(x) x/=,slen++;}
             slen++;
         }
     }
     for(i=m+;i<=m+n;i++) c[i]=gint(), e.ae(i,T,c[i]), e.ae(T,i,);
     Dinic();
     return ;
 }