题目大意:

给你一张无向图,求1到其他节点 不经过最短路的最后一条边 的最短路长度,保证每个节点的最短路走法唯一

神题,$USACO$题目的思维是真的好

先$dijkstra$出最短路树

对于每个节点,符合条件的走法必须满足,不经过它和它父亲之间的连边

显然只能从它的某个子节点走向它,就像绕了一圈

可以证明最优的合法路径一定只经过一条非树边,因为最短路方案唯一

如果还经过另外一条非树边,不论这条边在哪,都肯定会绕远

对于一条非树边$e<x,y>$,它连接了两个节点$x,y$,它们的$lca$是$f$

显然$x$到$f$路径上的某个点$S$(除了$f$点),都存在一条合法路径,从根节点沿树边走到$y$,经过$e<x,y>$走到$x$,再向上沿树边走到$S$

这段路径的长度是$dis_{x}+dis_{y}+dis_{e<x,y>}-dis_{S}$

对于$y$到$f$的路径也是同理

上面的式子可以用线段树+树链剖分序维护

 #include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N1 1010
#define M1 2010
#define S1 (N1<<1)
#define T1 (N1<<2)
#define ll long long
#define uint unsigned int
#define rint register int
#define dd double
#define il inline
#define inf 233333333
using namespace std; int gint()
{
int ret=,fh=;char c=getchar();
while(c<''||c>''){if(c=='-')fh=-;c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){ret=ret*+c-'';c=getchar();}
return ret*fh;
}
int n,m;
struct Edge{
int to[M1*],nxt[M1*],val[M1*],head[N1],cte;
void ae(int u,int v,int w)
{cte++,to[cte]=v,nxt[cte]=head[u],val[cte]=w,head[u]=cte;}
}E,T;
struct SEG{
int mi[T1];
void pushdown(int rt)
{
mi[rt<<]=min(mi[rt<<],mi[rt]);
mi[rt<<|]=min(mi[rt<<|],mi[rt]);
}
void build(int l,int r,int rt)
{
mi[rt]=inf;
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>;
build(l,mid,rt<<);
build(mid+,r,rt<<|);
}
void update(int L,int R,int l,int r,int rt,int w)
{
if(L<=l&&r<=R) {mi[rt]=min(mi[rt],w);return;}
int mid=(l+r)>>; pushdown(rt);
if(L<=mid) update(L,R,l,mid,rt<<,w);
if(R>mid) update(L,R,mid+,r,rt<<|,w);
}
int query(int x,int l,int r,int rt)
{
if(l==r) return mi[rt];
int mid=(l+r)>>; pushdown(rt);
if(x<=mid) return query(x,l,mid,rt<<);
else return query(x,mid+,r,rt<<|);
}
}s; int dis[N1],use[N1],fa[N1],la[N1],ist[M1*];
struct node{
int id,d;
friend bool operator < (const node &s1,const node &s2)
{return s1.d>s2.d;}
};
void dijkstra()
{
int j,v,u;
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
priority_queue<node>q;
dis[]=,q.push((node){,});
while(!q.empty())
{
node k=q.top(); q.pop(); u=k.id;
if(use[u]) continue; use[u]=;
for(j=E.head[u];j;j=E.nxt[j]){
v=E.to[j];
if(dis[v]>dis[u]+E.val[j])
dis[v]=dis[u]+E.val[j],q.push((node){v,dis[v]}),fa[v]=u,la[v]=j;
}
}
} int dep[N1],sz[N1],tp[N1],son[N1],st[N1],id[N1],tot;
void dfs1(int u,int dad)
{
for(int j=T.head[u];j;j=T.nxt[j])
{
int v=T.to[j]; if(v==dad) continue;
dep[v]=dep[u]+; dfs1(v,u); //fa[v]=u;
sz[u]+=sz[v]; son[u]=sz[v]>sz[son[u]]?v:son[u];
}
sz[u]++;
}
void dfs2(int u)
{
st[u]=++tot,id[tot]=u;
if(son[u]) tp[son[u]]=tp[u],dfs2(son[u]);
for(int j=T.head[u];j;j=T.nxt[j])
{
int v=T.to[j];
if(v==son[u]||v==fa[u]) continue;
tp[v]=v; dfs2(v);
}
}
void update(int x,int y,int w)
{
int px=x,py=y;
while(tp[x]!=tp[y])
{
if(dep[tp[x]]<dep[tp[y]]) swap(x,y);
s.update(st[tp[x]],st[x],,n,,dis[px]+dis[py]+w);
x=fa[tp[x]];
}
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
if(x!=y) s.update(st[x]+,st[y],,n,,dis[px]+dis[py]+w);
} void solve()
{
int x,y,i,j,v,ans; dijkstra(); s.build(,n,);
for(i=;i<=n;i++) T.ae(fa[i],i,E.val[la[i]]),ist[la[i]]=;
dep[]=,dfs1(,-); tp[]=,dfs2();
for(j=;j<=m*;j+=)
{
if(ist[j]||ist[j+]) continue;
x=E.to[j],y=E.to[j+];
update(x,y,E.val[j]);
}
for(i=;i<=n;i++)
{
ans=s.query(st[i],,n,);
if(ans==inf) printf("-1\n");
else printf("%d\n",ans-dis[i]);
}
} int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int i,j,x,y,z;E.cte=;
for(i=;i<=m;i++) x=gint(),y=gint(),z=gint(),E.ae(x,y,z),E.ae(y,x,z);
solve();
return ;
}

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