[刷题] 435 Non-overlapping Intervals

要求

• 贪心算法与动态规划的关系
• 给定一组区间，最少删除多少个区间，可以让这些区间之间互相不重叠
• 给定区间的起始点永远小于终止点

示例

• [[1,2],[2,3],[3,4],[1,3]], 返回1
• [[1,2],[1,2],[1,2]], 返回2

思路

• 等价为最多保留多少个区间
• 暴力：找出所有子区间的组合，判断不重叠（(2^n)*n）
• 先排序，方便判断不重叠
• 具体实现类似最长上升子序列
• 选择区间的结尾很重要，结尾越小，留给后面的空间越大

实现

• 动态规划（n^2）
• dp[i]：使用intervals[0...i]的区间所能构成的最长不重叠区间序列

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int eraseOverlapIntervals(vector<vector<int>>& intervals) {
 4
 5         if(intervals.size() == 0)
 6             return 0;
 7
 8         sort(intervals.begin(), intervals.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b){
 9             if(a[0] != b[0]) return a[0] < b[0];
10             return a[1] < b[1];
11         });
12
13         vector<int> dp(intervals.size(), 1);
14         for(int i = 1 ; i < intervals.size() ; i ++)
15             for(int j = 0 ; j < i ; j ++)
16                 if(intervals[i][0] >= intervals[j][1])
17                     dp[i] = max(dp[i], 1 + dp[j]);
18
19         return intervals.size() - dp.back();
20     }
21 };

• 贪心算法（n）
• 按照区间结尾排序，每次选择结尾最早的，且和前一个区间不重叠的区间
• 贪心选择性质：贪心算法为A，最优算法为O，A完全能替代O，且不影响求出最优解
• 若无法使用贪心算法，举出反例即可
• 证明正确性，可使用数学归纳法
  • 某次选择的是[s(i),f(i)]，其中f(i)是当前所有选择中结尾最早的
  • 假设这个选择不是最优的，若最优解为k，则这个选择得到的解，最多为k-1
  • 假设最优解在这一步选择[s(j),f(j)]，其中f(j)>f(i)
  • 显然可用[s(i),f(i)]替换[s(j),f(j)]，而不影响后续的区间选择
  • 即当选择[s(i),f(i)]时，也构成了大小为k的解，矛盾
  • 此问题具有贪心选择性，可以用贪心算法得到最优解

 1 class Solution {
 2
 3 public:
 4     int eraseOverlapIntervals(vector<vector<int>>& intervals){
 5
 6         if(intervals.size() == 0)
 7             return 0;
 8
 9         sort(intervals.begin(), intervals.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b){
10             if(a[0] != b[0]) return a[0] < b[0];
11             return a[1] < b[1];
12         });
13
14         int res = 1;
15         int pre = 0;
16         for(int i = 1 ; i < intervals.size() ; i ++)
17             if(intervals[i][0] >= intervals[pre][1]){
18                 pre = i;
19                 res ++;
20             }
21             else if(intervals[i][1] < intervals[pre][1])
22                 pre = i;
23
24         return intervals.size() - res;
25     }
26 };

应用

• 最小生成树
• 最短路径