MATLAB中插值算法实现

%%%1.M文件
%(1).以往少的程序可以在命令行窗口进行编码，但大量的程序编排到命令行窗口，
%会有造成乱码的危险.
(2).如果将命令编成程序存储在一个文件中(M文件)，依次运行文件中的命令，
则可以重复进行
%(3).M文件根据调用方式的不同可以分为两类：
Script:脚本文件/命令文件
Function:函数文件
M文件均以 .m为扩展名
(4).
(5).
(6).
%%%2.数据输入：input
>>A=input('请输入你要输入的数字：');
请输入你要输入的数字：1.2 %输入后保存到A里面
(1).A = importdata(filename)将数据从文件名所表示的文件中加载到数组 A 中

(2).num=xlsread(filename)适用于纯数值型数据
%a.xlsread 是数学软件 MATLAB 中读取 Excel 文件中数据的一个函数
%即从当前程序所在文件夹里，按照函数中的参数指定的范围，从单元格开始读取文件，返回数据。
b. num = xlsread(‘filename’,‘sheet’)选择所在的sheet，比如说’sheet1’
c.num = xlsread(‘filename’, ‘range’)所在的单元格范围，比如说range=‘A1:A8’
(3).A=readtable(filename)通过从文件中读取列向数据来创建表。
+++++申明： filename是文件名字 pathname是该文件地址
%%%3.网格线和坐标边框
(1).网格线：grid on
grid off
%figure() 函数figure主要是创建图窗窗口
figure(n)查找到n存在时，将当前窗口切换成n,不存在时创建标识为n的图窗
(2).对数坐标图：
semilogy(x1,y1,'参数1'…)%x轴为线性坐标刻度，y轴为常用对数刻度
%%%4.数据处理：
(1).插值问题：题目所给的数值参考(一堆数据)是按照规律每隔多少进行测量所得到的值：
那么问题来了：求那些在规律间隔内的数，并做出变化图
%上述问题可归结为：已知函数在某区间(域)内若干个点所处的位置，求函数在该区间其他点上的值
在x0,x1…x(n)处取值y0,y1…y(n),关于y(n)的多项式存在并且唯一(就是过这些点的方程是唯一的)
所以这个方程就是插值问题的解
%常用的插值法：Lagrange：拉格朗日多项式插值法
科学研究中，几乎所有的问题都可以用y=f(x)的方程进行表达，但在实践中，我们只知道一部分坐标的
数据，而根据这些数据我们能够求出这些数据的解析式，但无法求出这些数据(x)之外的所对应的y值。
所以多项式插值应运而生。
%假设有3个不在同一直线上的点，分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),求出过这3个点的曲线方程
%假设方程为：f(x)=a0+a1*x+a2*x^x
则有f1(x1)=a0+a1*x1+a2*x2^2
f2(x2)=a0+a1*x2+a2*x2^2
f3(x3)=a0+a1*x3+a2*x2^2 %确实难解三元2次方程组
拉格朗日认为可以通过三根二次曲线相加来达到目标。那这是怎么的三根二次曲线呢？
第一根曲线f1(x1),在 x1 点处取值，f1(x1)=1,f2(x2)=f3(x3)=0,因此得到过(x1,1)(x2,0)(x3,0)
的曲线，
第二根曲线f2(x2),在 x2 点处取值，f2(x2)=1,f1(x1)=f3(x3)=0,因此得到过(x1,0)(x2,1)(x3,0)
的曲线，
第三根曲线f3(x3),在 x3 点处取值，f3(x3)=1,f2(x2)=f1(x1)=0,因此得到过(x1,0)(x2,0)(x3,1)
的曲线，
往下依次……
%所以得到，y1*f1(x1)--->从坐标角度理解：那么就得到了过(x1,y1)的曲线
%y2*f2(x2)--->过(x2,y2)的曲线
%y3*f3(x3)--->过(x3,y3)的曲线
在根据拉格朗日的说法：f(x)=y1*f1(x)+y2*f2(x)+y3*f3(x)
所以得到通式：f(x)=y(i)*fi(x)
%%拉格朗日多项式插值实现流程：
1.根据初始数据x的取值求出相应的y值
2.建立m×n的矩阵
3.计算f(x)=y(i)*fi(x)(for循环)
(2).高次拉格朗日插值的Runge(龙格)现象：
Runge(龙格)的研究，证明了多项式插值的次数不超过七时成立，超过七时，插值多项式会出现严重的
震荡现象（称为Runge现象）
以f(x)=1/(1+(25*x)^2)为例：
%演示龙格函数的插值情况
for i=3:2:11
x=linspace(-1,1,i);
y=1./(1+25*x.^2);
p=polyfit(x,y,i-1);
xx=-1:0.01:1;
yy=polyval(p,xx);
plot(xx,yy,'b');
hold on;
grid on;
end;
plot(x,1./(1+25*x.^2),'r');
(2).MATLAB中一维插值：
一维插值命令是interp1,格式为：y(i)=interp1(x,y,xi,'选用的插值方法是什么(Lagrange)等等');
%x,y:是我已知的坐标
%xi：是我待插值的坐标
%插值方法：'nearest'-最邻值插值
'linear'--线性插值
'spline'--三次样条插值
'cubic'--立方插值
二维插值命令是interp2，格式为：z(i)=interp2(x,y,z,xi,yi,'方法');