[atARC116F]Deque Game

假设两个操作者分别为$A$和$B$，其中$A$希望最大、$B$希望最小

（并不默认$A$为整局游戏的先手，仅是最终的结果考虑$A$为先手时）

记第$i$个队列第$j$个元素为$a_{i,j}$（其中$1\le i\le k,1\le j\le n_{i}$）

特判$n_{i}=1$的队列，直接把队列中的元素加到最后的和中即可

当$k=1$时且$A$为先手时，答案为（为了方便，均省略$n_{1}$和$a_{1,i}$中的1）
$$
\begin{cases}\max(a_{\frac{n}{2}},a_{\frac{n}{2}+1})&(n\equiv 0(mod\ 2))\\\min(a_{\frac{n+1}{2}},\max(a_{\frac{n-1}{2}},a_{\frac{n+3}{2}}))&(n\equiv 1(mod\ 2))\end{cases}
$$
若$B$为先手，将$\max$和$\min$交换（改为另一种）即可

（正确性把所有情况一起按照$n$归纳即可）

下面，考虑若$A$可以选择哪一方为先手，此时$A$会选择谁（仍在$k=1$的基础上）

对两种情况分别讨论，不难得到$A$会在$n\equiv 0(mod\ 2)$时选择$A$，$n\equiv 1(mod\ 2)$时选择$B$

同理，$B$会在$n\equiv 0(mod\ 2)$时选择$B$，$n\equiv 1(mod\ 2)$时选择$A$

通俗的来说，即序列长度为偶数时双方会去操作，而奇数时双方希望对方先操作

（关于这个结论，仅仅是方便思考，并不能证明下面做法的正确性）

由此，当所有序列长度都为奇数，显然当先手操作某一个序列，后手都跟着操作即可，独立求出每一个序列的$A$为先手的答案并求和即可

对于长度为偶数的序列，双方的策略即先手选择一个长度为偶数的序列，后手选择另一个长度为偶数的序列，不断选择直至没有偶数的序列，最后根据奇偶性即可判定谁先选长度为奇数的序列

关于选择哪一个，显然按照两种情况的差值排序后贪心选择即可

总复杂度为$o(k\log k)$，可以通过

（正确性把所有情况一起按照$\sum_{i=1}^{k}n_{i}$归纳即可）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 200005
 4 vector<int>v,a[N];
 5 int n,x,s,m[N];
 6 long long ans;
 7 int main(){
 8     scanf("%d",&n);
 9     for(int i=1;i<=n;i++){
10         scanf("%d",&m[i]);
11         if (m[i]==1){
12             scanf("%d",&x);
13             ans+=x;
14             i--,n--;
15             continue;
16         }
17         for(int j=1;j<=m[i];j++){
18             scanf("%d",&x);
19             a[i].push_back(x);
20         }
21         if (m[i]%2==0)s++;
22     }
23     if (s%2==0){
24         for(int i=1;i<=n;i++){
25             if (m[i]&1)ans+=min(a[i][m[i]/2],max(a[i][m[i]/2-1],a[i][m[i]/2+1]));
26             else{
27                 int x=a[i][m[i]/2-1],y=a[i][m[i]/2];//最中间两个
28                 ans+=min(x,y);
29                 if (m[i]==2)v.push_back(abs(x-y));
30                 else v.push_back(max(min(x,max(a[i][m[i]/2-2],y)),min(y,max(x,a[i][m[i]/2+1])))-min(x,y));
31             }
32         }
33         sort(v.begin(),v.end());
34         for(int i=1;i<s;i+=2)ans+=v[i];
35         printf("%lld",ans);
36         return 0;
37     }
38     for(int i=1;i<=n;i++){
39         if (m[i]&1)ans+=max(a[i][m[i]/2],min(a[i][m[i]/2-1],a[i][m[i]/2+1]));
40         else{
41             int x=a[i][m[i]/2-1],y=a[i][m[i]/2];
42             ans+=max(x,y);
43             if (m[i]==2)v.push_back(-abs(x-y));
44             else v.push_back(min(max(x,min(a[i][m[i]/2-2],y)),max(y,min(x,a[i][m[i]/2+1])))-max(x,y));
45         }
46     }
47     sort(v.begin(),v.end());
48     for(int i=1;i<s;i+=2)ans+=v[i];
49     printf("%lld",ans);
50 }