【基础知识】CPU原理之减法、乘法和除法

中介绍了布尔逻辑、数学和电路的关系，我们也得到了与门、或门、非门、或非门、与非门、异或门等门电路以及一个加法器，并且了解了计算机是如何做加法的，这篇文章介绍一下计算机是如何做减法以及乘除法的。

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减法

我们先看一下十进制里减法怎么做，存在什么问题？

457减368个位数7减8是不够减的，所以需要向十位借位，17减8等于9。5变成4，4减6又是不够减，向百位借位，14减6等于8。百位3减3等于0，结果是89。这个是我们自己计算减法时候一种很通用的方法，这种方法用计算机处理有两个问题。一个问题是借位，另一个问题是需要掌握20以内的减法。之前的机械计算机减法确实也是这么做的，不过随着历史的车轮滚滚前行，计算机的发展过程中人才辈出，还是有人发现了另外一种计算减法的简单方法-补码，成功的把减法当成了加法来处理。

我们来看一下，457 – 368等于457 + (1000 – 368) – 1000。1000 – 368等于632。632就是368在10进制数里的补码。457+632 = 1089，减去刚才的1000，可不就是89吗？但是这里可能有人会问计算补码不还是得计算1000减368，没解决根本问题啊。但是在二进制里，计算起来就方便多了（二进制真是化简为繁的重大发现）。其实对于一个只能计算三位数的计算机来讲，负368计算补码的正确方式999-368+1。因为三位数的计算机表示不了1000。对于二进制来讲，那就是先取反，再加一，取反用非门就可以搞定了。计算机里有符号数用高位表示符号，1是负数，0是正数，所以-1在计算机里用二进制的表示应该是1 1 1 1 1 1 1 1，对应的无符号数是255。

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乘法

视频：https://zh.coursera.org/lecture/jisuanji-zucheng/402-cheng-fa-qi-de-shi-xian-lp2kEc

乘法怎么算呢？同样我们先看下十进制乘法123 * 321是怎么计算的。

123 * 321 = 123 *（3 * 100 + 2 * 10 + 1）=  （123 * 3） * 100 + （123 * 2） * 10 + 123 = 36900 + 2460 + 123 = 39483。

这样就转化为乘法、左移和加法操作。有的同学可能又会问，123
*
3计算机怎么算？先别动手，我们还有二进制，最终的乘法其实已经被简化为被乘数乘以10以内的数，在二进制里，那就是被乘数乘以2以内的数，2以内的数只有0和1，是不是就简单多了。我们看下11
* 12的二进制数相乘的计算过程。

1011 * 1100 = 1011 * 0 + 10110（1011左移一位）* 0 + 101100（1011左移两位）* 1 + 1011000（1011左移三位）* 1 。这下是不是简单多了，不是乘以0就是乘以1，最后通过加法器相加就好了。

public class Multiplier {
    /**
     * 模拟计算机乘法器两数相乘的过程：
     * 1.数学上m * n表示n个m相加
     * 2.但计算机乘法器是二进制的，m乘以n中第i位不为0的比特位意味着m向左移动i位，把所有这样的结果相加，即为乘法器的计算过程
     * @param m 被乘数
     * @param n 乘数
     * @return 积
     */
    public static long multiply(int m, int n) {
        if (m == 0 || n == 0)
            return 0;

        long result = 0;
        // 获取乘数从最高比特位往低比特位第一个不为零的比特位之间0比特位的数量
        int loop = 64 - Long.numberOfLeadingZeros(n);
        for (int i = 0; i < loop; i++) {
            if (((1 << i) & n) != 0)
                result += m << i;
        }
        return result;
    }
}

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除法

 

乘法搞定了，就差除法了，除法怎么算呢？老规矩，我们先看下10进制123除以4的计算方法。

123 最高位1，比4小，结果是0，余数是1;

123 上一步的余数1左移1位是10，加上2是12，12除以4等于3，余数是0;

123 最后一位是3，比4小，结果是0，余数是3。

所以结果是30，余数是3。

没毛病，让我们看下二进制计算的过程。

1 1 1 1 0 1 1 中的1 比 100小，结果是0，余数是1。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数1左移1位，加上1是11，比100小，结果是0，余数是11。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数11左移1位，加上1是111，比100大，结果是1，余数是11。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数11左移1位，加上1是111，比100大，结果是1，余数是11。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数11左移1位，加上0是110，比100大，结果是1，余数是10。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数10左移1位，加上1是101，比100大，结果是1，余数是1。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数1左移1位，加上1是11，比100小，结果是0，余数是11。

所以结果是0011110（十进制30），余数是11（十进制数3）。

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总结

 

加法是计算机中最基本的操作，我们已经有了加法器，计算加法毫无压力。减法则通过补码，巧妙的转化成了加法的运算。而乘法是通过左移和加法完成的，除法则是通过左移和减法完成的。我们通过加法器以及移位器就能完成基本的加减乘除算术运算。但是这样只能完成两个数的操作，如果想完成三个数的操作怎么办呢？总不能计算两个数，人工记录下来结果，然后再与第三个数相加吧，这就需要另外一个东西-寄存器了，有了寄存器，计算机就可以暂存一些中间结果，持续的执行代码进行计算了。下篇文章，给大家分享一下通过电路怎么记录数据。