P7515-[省选联考 2021A卷]矩阵游戏【差分约束】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7515

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题目大意

有一个\(n*m\)的矩形\(A\)，然后给出一个\((n-1)*(m-1)\)的矩形\(B\)满足

\[B_{i,j}=A_{i,j}+A_{i+1,j}+A_{i,j+1}+A_{i+1,j+1}
\]

求能否构造合法矩形\(A\)使得\(0\leq a_{i,j}\leq 10^6\)

\(1\leq T\leq 10,1\leq n,m\leq 300,0\leq b_{i,j}\leq 4\times 10^6\)

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解题思路

如果不考虑\(a_{i,j}\)的限制显然很容易构造一个方案。

然后要考虑怎么调整到满足限制，不难发现我们每行/列进行\(+1/-1/+1/-1...\)操作不会改变\(b\)数组上的值，所以我们设\(c_i\)表示第\(i\)行进行了多少次，第\(j\)行进行了多少次，那么有

\[0\leq a_{i,j}±c_i±d_j\leq 10^6
\]

如果我们控制使得每个位置的\(c_i\)和\(d_j\)的符号不同那么就可以进行差分约束了。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=610;
struct node{
	ll to,next,w;
}a[N*N];
ll T,n,m,b[N][N],c[N][N];
ll tot,cnt[N],ls[N],f[N];
bool v[N];deque<int> q;
void addl(ll x,ll y,ll w){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;a[tot].w=w;
	return;
}
bool SPFA(){
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	q.push_back(1);v[1]=cnt[1]=1;f[1]=0;
	while(!q.empty()){
		ll x=q.front();v[x]=0;q.pop_front();
		for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
			ll y=a[i].to;
			if(f[x]+a[i].w<f[y]){
				f[y]=f[x]+a[i].w;
				cnt[y]=cnt[x]+1;
				if(cnt[y]>=n+m&&a[i].w<0)return 1;
				if(!v[y]){
					v[y]=1;
					if(!q.empty()&&f[y]<f[q.front()])q.push_front(y);
					else q.push_back(y);
				}
			}
		}
	}
	return 0;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		memset(ls,0,sizeof(ls));tot=0;
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		for(ll i=1;i<n;i++)
			for(ll j=1;j<m;j++)
				scanf("%lld",&b[i][j]);
		memset(c,0,sizeof(c));
		for(ll i=1;i<=m;i++)c[1][i]=0;
		for(ll i=2;i<=n;i++){
			c[i][1]=0;
			for(ll j=2;j<=m;j++)
				c[i][j]=b[i-1][j-1]-c[i-1][j-1]-c[i-1][j]-c[i][j-1];
		}
		for(ll i=1;i<=n;i++)
			for(ll j=1;j<=m;j++){
				if((i+j)&1)addl(i,j+n,c[i][j]),addl(j+n,i,1e6-c[i][j]);
				else addl(j+n,i,c[i][j]),addl(i,j+n,1e6-c[i][j]);
			}
		if(!SPFA()){
			puts("YES");
			for(ll i=1;i<=n;i++,putchar('\n'))
				for(ll j=1;j<=m;j++){
					if((i+j)&1)c[i][j]=c[i][j]+f[i]-f[j+n];
					else c[i][j]=c[i][j]-f[i]+f[j+n];
					printf("%lld ",c[i][j]);
				}
		}
		else puts("NO");
	}
	return 0;
}