LCT能干啥???

LCT能干啥

 

 

 

模板：

 

• 维护可加的树链信息：询问都是一条链上的信息；维护方式和线段树差不多；
• 增加一条边；
• 删除一条边；
• 修改一个点权；
• 修改一条路径上的所有点的点权；

 

 

整体来说，像是树链剖分的森林化，再用\(splay\)代替线段树；

 

 

\(eg.\) 染色

​ Tree II

 

 

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维护MST

 

 

\(eg.\) 水管局长

 

 

题目要求删边，感觉删边比加边麻烦，我们可以用时光倒流法，将操作离线，沿时间轴从后往前倒着操作（撤回），会更加方便；

 

 

因为每往\(MST\)（最小生成树）中加入一条边，会产生一个环，需要在这个环上删除一条最大的边才能，重新得到\(MST\)，这是\(LCT\)可以做到的；

 

 

我们遇到的的第一个问题是边权化点权，一个很方便的方法是，将每一条边都看成一个点，比如对于边\((x,y)\)，它的编号是\(i\)，每次连接时，都将\((x,i)\)和\((i,y)\)相连，这样构造出来的联通性是等价的；

边的权值被存储在\(i\)节点中，巧妙的解决了边权的问题；

 

 

对于维护\(MST\),可以记录这颗子树里最大的边权的编号，每次增加一条边，再将路径上最大的边删去即可；

 

 

 

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维护双连通分量？？

 

 

\(eg.\) 航线规划

感觉题目跟边双联通分量有关，将边双缩了点后，两点之间的边的数量就是我们要求的；

 

 

那删除一条边呢？

经验告诉我们，要时光倒流；

那加入一条边呢？

要重新缩点，那意思是······动态缩点？？？在\(LCT\)上缩点？？？

 

 

还是从题目本身入手吧；

先把边权化点权，用前面的方法，一个由边变来的点，才拥有权值，如果值为\(1\)，意味着这条边是关键边，反之不是；

那\(LCT\)上就是维护一个子树和，询问查询路径和；

 

 

那加入一条边呢？？（又来了）

比如加一条\((x,y)\)，那\(x\)到\(y\)就会产生一个环，那\(x\)到\(y\)之间的边全都不再是关键边；那就可以打标记推平；

 

 

至此，这个题就是路径推平路径查询；

 

 

 

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维护子树信息

 

 

链的情况我们能解决，那子树呢？

首先一定要明确，原树上的子树和\(LCT\)上的子树有巨大差别；

\(eg.\) 大融合

发现询问就是，在原树上删除\((x,y)\)得到的子树大小的乘积；

 

 

根据题目询问的特点，每次询问一条边\((x,y)\)，我们可以把\(x,y\)这条链先单独取出来\(split(x,y)\)；

这样我们所需要的信息就是\(x,y\)的虚子树大小的和；

 

 

怎么维护虚树子树信息（记为\(sz[x]\)）？？？

我们发现虚树边只有在\(access\)和\(link\)函数时会发生改变；

 

 

\(access\)原函数

void access(int x)
{
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
		splay(x),rs=y,upd(x);
}

\(x\)的右儿子变了，我们应当在\(sz[x]\)减去\(y\)的贡献，而加上\(rs\)的贡献；

贡献是什么？这里应该指的是，实儿子和虚儿子总的子树大小和，毕竟\(x\)虚儿子所在的整个\(splay\)树都在\(x\)子树中；

这一部分应该为

void upd(int x){ s[x]=s[ls]+s[rs]+1+sz[x];}
void access(int x)
	{
		for(int y=0;x;x=fa[y=x])
		{
			splay(x),
			sz[x]+=s[rs];
			sz[x]-=s[y];
			rs=y,upd(x);
		}
	}

 

 

而\(link\)呢？

原函数

void link(int x,int y)
{
	makert(x);fa[x]=y;
}

这里就是连了一条虚边；

那应该把\(x\)的贡献加到\(y\)里；

但由于\(y\)的位置未知，就必须还把\(x\)的贡献加给\(y\)的父亲们；

 

 

为了解决这个问题，我们可以让\(y\)没有父亲；

具体来说把\(y\) \(splay\)到根的位置就可以了，即

void link(int x,int y)
{
	makert(x);access(y);splay(y);
	fa[x]=y;
	sz[y]+=s[x];
	upd(y);
}

 

 

这样就可以正确维护虚子树信息。

\(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mp make_pair
using namespace std;

const int N=200005;
int n,m;

inline int read()
{
	int x=0,fl=1;char st=getchar();
	while(st<'0'||st>'9'){ if(st=='-')fl=-1; st=getchar();}
	while(st>='0'&&st<='9') x=x*10+st-'0',st=getchar();
	return x*fl;
}

struct LCT
{
	#define ls ch[x][0]
	#define rs ch[x][1]
	int fa[N],ch[N][2],tag[N],sz[N];
	int v[N],s[N];
	int sta[N];
	bool nort(int x){ return ch[fa[x]][0]==x||ch[fa[x]][1]==x;}
	void upd(int x){ s[x]=s[ls]+s[rs]+1+sz[x];}
	void rev(int x){ swap(ls,rs);tag[x]^=1;}
	void pd(int x)
	{
		if(tag[x])
		{
			if(ls) rev(ls);
			if(rs) rev(rs);
			tag[x]=0;
		}
	}
	void rotate(int x)
	{
		int y=fa[x],ys=(ch[y][1]==x);
		int R=fa[y];
		int B=ch[x][ys^1];
		if(nort(y)) ch[R][ch[R][1]==y]=x; ch[x][ys^1]=y; ch[y][ys]=B;
		if(B) fa[B]=y; fa[x]=R; fa[y]=x;
		upd(y);upd(x);
	}
	void splay(int x)
	{
		int y=x,z,top=0;
		sta[++top]=y;
		while(nort(y))
		{
			y=fa[y];
			sta[++top]=y;
		}
		while(top) pd(sta[top--]);
		while(nort(x))
		{
			y=fa[x];z=fa[y];
			if(nort(y))
				rotate((ch[y][1]==x)==(ch[z][1]==y)?y:x);
			rotate(x);
		}
	}
	void access(int x)
	{
		for(int y=0;x;x=fa[y=x])
		{
			splay(x),
			sz[x]+=s[rs];
			sz[x]-=s[y];
			rs=y,upd(x);
		}
	}
	void makert(int x)
	{
		access(x);splay(x);rev(x);
	}
	void split(int x,int y)
	{
		makert(x);access(y);splay(y);
	}
	void link(int x,int y)
	{
		makert(x);access(y);splay(y);
		fa[x]=y;
		sz[y]+=s[x];
		upd(y);
	}
}f;

map<pair<int,int>,int> book;
char st[5];

int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) f.s[i]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%s",st);
		int x=read(),y=read();
		if(st[0]=='A')
		{
			f.link(x,y);
		}
		else
		{
			f.split(x,y);
			printf("%lld\n",(ll)(f.sz[x]+1)*(f.sz[y]+1));
		}
	}
	return 0;
}

 

 

 

 

\(to\ be\ continued\)