A线段树

线段树专题

顾琪坤

1、简介：

打acm的时候，经常会碰到一类问题，比方给你n个数的序列，然后动态的更改某些数的值，然后又动态地询问某个区间的值的和或者其它乱七八糟的东西，对于单个更改或者询问，也许很轻松的就能写出O(n)的算法，但可能n比较大，可能有10的5次方的数量级，并且更改和询问的操作总次数q很多，q可能也是10的5次方的数量级，那么简单的写来的话，整个程序的复杂度是O(n*q)，也就是10的10次方的数量级，这个复杂度在acm题目中是不可承受的，因为对于1s时限的题目，只能承受10的7次方的左右的数量级。

对于这类问题，就需要利用线段树这种数据结构了，这种神奇的数据结构能把上面那些问题在O(q*log(n))的时间内解决。

适用：

不单单有专门为线段树出的题，很多时候，线段树作为一种辅助出现，用来优化整个程序的效率，经常和动态规划搞在一起，比方求最长上升子序列的时候，普通的动态规划需要O(n^2)的复杂度，利用线段树优化就能降到O(n*log(n))的复杂度。

我的看法：

线段树，非常简单，但又因为它非常灵活，搞得题目可难可易，经常会有非常恶心的线段树题，想掌握它需要挺长时间的。

个人认为，在acm中线段树是一种非常简单的数据结构，非常形象也很容易理解。所每个acmer都应该掌握线段树的基本应用，而一个队伍中至少有一个人非常精通它，队伍的其他两人都应该会用它以及大概知道怎样的题可以用线段树解决。

线段树的结构：

线段树是建立在线段（或者说区间）基础上的树，树的每个节点代表一条线段[a,b]（先规定一下，这里的线段是离散的点构成的，比方对于一个序列A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,，区间[3,5]代表的是{A3,A4,A5}这个意思，当然线段树也能搞连续的线段，这个与离散的大体相同，就少许地方不同，可自己联想）。

如果在线段[a,b]中，a==b了，说明这个节点只代表一个点了，它就是一个叶子节点。

如果线段[a,b],a!=b,说明这个节点代表的不值一个点，那么它会有两个儿子，左儿子代表的区间是[a,(a+b)/2],右儿子代表的区间是[(a+b)/2+1,b]。

这样的一个结构，一个区间每次都被折一半往下分，所以最多被分log(n)次就分到最低层。那么想要查找一个点或者区间的时候，顺着节点往下找，最多也就log(n)次就能找到。

2、线段树题目：

http://www.notonlysuccess.com/index.php/segment-tree-complete/

这个博客讲的比较完美了，做完就比较厉害了。

另外还有一些二维线段树丫，线段树的恶心应用之类的，想精通线段树的童鞋可以去研究一下。

3、国家集训队2004论文集 林涛：《线段树的应用》

下载：

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