#1560 : H国的身份证号码II(dp+矩阵快速幂)

#1560 : H国的身份证号码II

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描述

H国的身份证号码是一个N位的正整数(首位不能是0)。此外，由于防伪需要，一个N位正整数是合法的身份证号码当且仅当每位数字都小于等于K，并且任意相邻两位数字的乘积也小于等于K。

例如对于K=5, 101、211、210等都是合法的号码，而106、123、421等都是非法的号码。

给定一个正整数N以及K，H国总统想知道一共有多少个合法的号码可用。

输入

两个整数N和K。

对于30%的数据，1 ≤ N ≤ 10

对于50%的数据，1 ≤ N ≤ 1000000

对于100%的数据，1 ≤ N ≤ 1012，1 ≤ K ≤ 81。

输出

合法号码的总数。由于答案可能非常大，你只需要输出答案对10⁹+7取模的结果。

样例输入

2 4

样例输出

12

//dp[i][j] 代表 i 长度，结尾为 j 的合法方案数

那么容易想到

i = 1 : dp[1][j] = 1 (j<=k)

i > 1 : dp[i][j] = ∑dp[i-1][x] (x<=k&&j<=k&&j*x<=k)

可以发现，可以用矩阵快速幂优化，O(10³*logn)

 # include <cstdio>
 # include <cstring>
 # include <cstdlib>
 # include <iostream>
 # include <vector>
 # include <queue>
 # include <stack>
 # include <map>
 # include <bitset>
 # include <sstream>
 # include <set>
 # include <cmath>
 # include <algorithm>
 # pragma  comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
 using namespace std;
 # define LL          long long
 # define pr          pair
 # define mkp         make_pair
 # define lowbit(x)   ((x)&(-x))
 # define PI          acos(-1.0)
 # define INF         0x3f3f3f3f3f3f3f3f
 # define eps         1e-
 # define MOD         

 inline int scan() {
     int x=,f=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-') f=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-''; ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 inline void Out(int a) {
     if(a<) {putchar('-'); a=-a;}
     if(a>=) Out(a/);
     putchar(a%+'');
 }
 #define MX 10
 /**************************/
 struct Mat
 {
     LL m[MX][MX];
 }unit,di,fir;

 LL n,k;

 Mat mult(Mat a,Mat b)
 {
     Mat c;
     for (int i=;i<MX;i++)
         for (int j=;j<MX;j++)
         {
             c.m[i][j]=;
             for (int k=;k<MX;k++)
                 c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%MOD;
         }
     return c;
 }

 Mat cal(LL p)
 {
     Mat ret = unit, b = di;
     while (p)
     {
         if (p&) ret = mult(ret,b);
         b = mult(b,b);
         p/=;
     }
     return ret;
 }

 void Init()
 {
     for (int i=;i<MX;i++)
         unit.m[i][i]=;
     for (int i=;i<MX;i++)
     {
         if (i<=k)
             fir.m[i][]=;
     }
     for (int i=;i<MX;i++)
     {
         for (int j=;j<MX;j++)
         {
             if (i<=k&&j<=k&&i*j<=k)
                 di.m[i][j]=di.m[j][i]=;
         }
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%lld%lld",&n,&k);
     Init();
     Mat sa = fir;
     Mat sb = cal(n-);
     sb = mult(sb,sa);

     LL ans = ;
     for (int i=;i<MX;i++)
     {
         ans = (ans + sb.m[i][])%MOD;
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }