[GDOIpj222A] 点指兵兵

第一题 点指兵兵

提交文件: bing.cpp

输入文件: bing.in

输出文件: bing.out

时间空间限制： 1 秒, 256 MB

你一定有过在两个物品之间犹豫不决的时候，想要借助一些方法帮你随机选择。在广东，有一种方法叫”点指兵兵”，即一开始用手指指向一个物品，然后念” 点指兵兵点到谁人做大兵”，从第二个字开始，每念一个字，手指就移动到另一个物品上。整句话念完，手指指向谁，你就选择谁。

但很快你就发现，这个方法是有问题的——你最终指向的物品一定是你一开始指向的物品，这严重破坏了这个方法的随机性。后来你学了信息学，你更加清楚这个规律了，咒语长度是奇数的时候最终指向跟初始指向相同，咒语长度是偶数的时候最终指向跟初始指向不同。

所以解决的方法有这么几种：

• 增加咒语长度，可以念一句很长很长的句子，长到你也数不清是奇数还是偶数。
• 增加物品数量，只有两个物品的话规律太多，多一些物品也就少一些规律。
  
  因此现在你面对的问题是这样的：有若干个物品（至少 \(3\) 个）排成一圈，你要念一句长度为 \(n (n ≥ 3)\) 的咒语，一开始手指指向任意一个物品，从第二个字开始，每念一个字，手指移动到顺时针的下一个物品。如果最终指向的物品不是初始指向的物品，也不是与初始物品相邻的物品，那么就认为这个选择是比较随机的。

给定 \(n\)，你想知道 \(3, \cdots , n\) 这些数字有多少个作为物品数量的时候，选择是比较随机的。

输入格式

本题每个测试点有多组测试数据。

第一行一个整数 T，表示数据组数。

接下来 T 行，每行一个整数 n，表示咒语长度。

输出格式

共 T 行，每行一个整数，表示有多少种可能的物品数量，使得这个咒语造成的选择是比较随机的。

样例数据

2
7
11
1

4

样例解释

n = 7 时，咒语可以是” 我爱 GDKOI”，只有物品数量为 4 时，最终指向物品不同于初始物品且不与初

始物品相邻。

n = 11 时，咒语可以是” 点指兵兵点到谁人做大兵”，物品数量为 4, 6, 7, 8 时符合要求。

数据范围

对于所有测试点，\(3 ≤ n ≤ 2 × 10^9，1 ≤ T ≤ 5\)。

测试点	\(T ≤\)	\(n ≤\)	特殊限制
1 ∼ 3	5	$1000 $	无
4 ∼ 8	5	\(10^5\)	无
9	5	$ 2 × 10^9$	n 与 n − 2 都是质数
10	5	$ 2 × 10^9$	无

首先考虑物品数量在什么条件下会不符合要求。很明显，如果\(n\equiv 0,1,2\pmod{x}\)时，\(x\)不合法。也就是说，如果\(x\)是\(n-1,n-2,n\)的因数，那么\(x\)不合法。由于\(n\)和\(n-2\)的差距为2，所以在\(3\cdots n\)中没有重复的因数。因数是成对出现的，所以排除掉一个x还要排除掉\(n-x\)。

但是还是要多排除一些可能。首先如果\(n\)是偶数，排除\(n\div2\)和\((n-2)\div2\),否则排除\((n-1)\div2\)，还要排除\(n,n-1,n-2\)三个数本身。

方法在\(n\le6\)时会排除出现重复，所以要特判。

#include<cstdio>
const int M=6e6+5;
int t,n,cnt;
void calc(int x,int y)
{
	if(!(y%x))
	{
		if(x*x==y)
			++cnt;
		else
			cnt+=2;
	}
}
int main()
{
//	freopen("bing.in","r",stdin);
///	freopen("bing.out","w",stdout);
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n),cnt=0;
		if(n<7)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		for(int i=3;i*i<=n;i++)
		{
			calc(i,n);
			calc(i,n-1);
			calc(i,n-2);
		}
		if(n%2==0)
			cnt+=2;
		else
			cnt++;
		printf("%d\n",n-5-cnt);
	}
	return 0;
}