Solution -「CF 1096E」The Top Scorer

Description

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小明在打比赛，包括小明自己一共有 \(p\) 名选手参赛，每个人的得分是一个非负整数。最后的冠军是得分最高的人，如果得分最高的人有多个，就等概率从这些人中选一个当冠军。

现在小明已知了自己的得分大于等于 \(r\)，所有选手的得分和为 \(s\)。求小明获胜的概率，结果对 \(998244353\) 取模。

Solution

抄了个 LJC00118 的非 DP 做法。

考虑直接统计总方案数和合法方案数。

总方案数即把 \(s-r\) 个无标号小球放进 \(p\) 个可为空的有标号小盒里，那么式子就是 \(\dbinom{s-r+p-1}{p-1}\)。

对于合法方案数，枚举有 \(i\) 个人与自己同分为 \(j\)，则这部分的答案为 \(\frac{\binom{n-1}{i-1}}{i}\times{\bf f}(n-i,s-ij,j)\)。

\({\bf f}(a,b,c)\) 为 \(a\) 个人，总分 \(b\)，所有人严格小于 \(c\) 的方案，容斥算。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const int MOD=998244353;
void exGCD(int one,int ano,int &x,int &y) {
	if(ano==0) {
		x=1;
		y=0;
	}
	else {
		exGCD(ano,one%ano,y,x);
		y-=(one/ano)*x;
	}
}
int inv(int val) {
	int res,w;
	exGCD(val,MOD,res,w);
	return (res%MOD+MOD)%MOD;
}
int far[5110],exfar[5110];
int C(int n,int k) {
	if(n<k)	return 0;
	else	return LL(far[n])*exfar[k]%MOD*exfar[n-k]%MOD;
}
int s,r,n,ans;
int f(int a,int b,int c) { // a persons exist, sum of scores is b, everyone's score < c
	if(a==0) {
		if(b==0)	return 1;
		else	return 0;
	}
	int res=0,cur=1;
	for(int i=0;i<=a && i*c<=b;++i) {
		res=(res+LL(cur)*C(b-i*c+a-1,a-1)%MOD*C(a,i)%MOD+MOD)%MOD;
		cur=MOD-cur;
	}
	return res;
}
int main() {
	scanf("%d %d %d",&n,&s,&r);
	far[0]=1;
	for(int i=1;i<=s+n;++i)	far[i]=LL(far[i-1])*i%MOD;
	for(int i=0;i<=s+n;++i)	exfar[i]=inv(far[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		for(int j=r;j<=s && i*j<=s;++j)	ans=(ans+LL(C(n-1,i-1))*f(n-i,s-i*j,j)%MOD*inv(i)%MOD)%MOD;
	}
	printf("%d\n",int(LL(ans)*inv(C(s-r+n-1,n-1))%MOD));
	return 0;
}