372. Super Pow.txt

▶ 指数取模运算 a^b % m

▶ 参考维基 https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_exponentiation，给了几种计算方法：暴力计算法，保存中间结果法（分为左到右的二进制法和右到左的二进制法），矩阵法，优先群法，量子计算法。

● 代码，18 ms，令 a' = a % m，b = 10 * c + d（0 ≤ d < 10），则 a^b % m == ((a^c % m)¹⁰ % m) * (a^d % m) % m，每次将指数的个位拆出来单独算，再和高位部分乘在一起。指数运算采用线性乘法，合并过程采用从右到左的二进制法，并使用了递归。

 class Solution
 {
     const int mod = ;
     int powMod(int a, int k) //a^k mod 1337 where 0 <= k <= 10
     {
         a %= mod;
         int i, result;
         for (i = , result = ; i < k; result = (result * a) % mod, i++);
         return result;
     }
 public:
     int superPow(int a, vector<int>& b)
     {
         if (b.empty())
             return ;
         int last_digit = b.back();
         b.pop_back();
         return powMod(superPow(a, b), ) * powMod(a, last_digit) % mod;
     }
 };

● 代码，10 ms，与上述算法相同，指数运算采用从右到左的二进制法，合并过程采用从左到左到右二进制法，并使用了递归。

 class Solution
 {
 public:
     const int mod = ;
     int powMod(int a, int b)// a ^ b % mod
     {
         int result;
         for (result = ; b; b >>= )
         {
             if (b & )
                 result = (result * a) % mod;
             a = (a * a) % mod;
         }
         return result;
     }
     int superPow(int a, vector<int>& b)
     {
         int i, result;
         for (a %= mod, i = b.size() - , result = ; i >= ; i--)
         {
             if (i < b.size() - )
                 a = powMod(a, );
             result = (result * powMod(a, b[i])) % mod;
         }
         return result;
     }
 };

● 代码，8 ms，注意到欧拉 - 费马定理，对于任意正整数 a 和 n 有 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，于是令 b = φ(m) * c + d（0 ≤ d < φ(n)），则 a^b % m == a^d % m，这里 φ(1337) = 1337 * ( 1 - 1 / 7 ) * ( 1 - 1 / 191 ) = 1140

 class Solution
 {
 public:
     const int mod = ;
     int superPow(int a, vector<int>& b)
     {
         int p = , ret;
         for (int i : b)
             p = (p *  + i) % ;
         if (p == )
             p += ;
         for (ret = , a %= mod; p > ; a = a * a % mod, p >>= )
         {
             if (p & )
                 ret = ret * a % mod;
         }
         return ret;
     }
 };