LeetCode赛题391----Perfect Rectangle

391. Perfect Rectangle

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Given N axis-aligned rectangles where N > 0, determine if they all together form an exact cover of a rectangular region.

Each rectangle is represented as a bottom-left point and a top-right point. For example, a unit square is represented as [1,1,2,2]. (coordinate of bottom-left point is (1, 1) and top-right point is (2, 2)).

Example 1

rectangles = [
	[1,1,3,3],
	[3,1,4,2],
	[3,2,4,4],
	[1,3,2,4],
	[2,3,3,4]
]  

Return true. All 5 rectangles together form an exact cover of a rectangular region.

Example 2

rectangles = [
	[1,1,2,3],
	[1,3,2,4],
	[3,1,4,2],
	[3,2,4,4]
]

Return false. Because there is a gap between the two rectangular regions.

Example 3

rectangles = [
	[1,1,3,3],
	[3,1,4,2],
	[1,3,2,4],
	[3,2,4,4]
]

Return false. Because there is a gap in the top center.

Example 4

rectangles = [
	[1,1,3,3],
	[3,1,4,2],
	[1,3,2,4],
	[2,2,4,4]
]  

Return false. Because two of the rectangles overlap with each other.

算法分析

刚开始想到的一个方法是先遍历所有的矩形，找出最小的(leftMost,bottomMost)和最大的(rightMost,topMost),这是所有矩形所可能覆盖的最大的区域。然后定义一个二维数组：

int[][] area = new int[topMost-bottomMost][rightMost-leftMost],

再遍历一次所有的矩形，对矩形 rect,做如下判断：

int totalArea=0;
for(int[] rect:rectangles){
	for(int i=rect[1]-bottomMost;i<rect[3]-bottomMost;i++){
		for(int j=rect[0]-leftMost;j<rect[2]-leftMost;j++){
			totalArea++;
			if(area[i][j]>=1){//说明出现了重叠覆盖区域
				return false;
			}
			else{
				area[i][j]++;
			}
	}
}

当遍历完所有矩形后，首先判断

if(totalArea!=(rightMost-leftMost)*(topMost-bottomMost)){
	return false;
}

因为如果要实现完全覆盖，必须有 totalArea=(rightMost-leftMost)*(topMost-bottomMost).

满足了相等条件后,再判断是否area[][]数组中所有的数据均为1----是，则说明最大覆盖区域中的每个小单元均被覆盖了一次，满足条件，返回 true；否，则说明有的区域没有覆盖到，返回 false。

上述算法的思想是正确的，但是当输入数据量覆盖面积较大时，会出现 Memory Exceeded 的错误。考虑使用一个 bit 来表示一个单元面积，结果出现了 Time Limit Exceeded 的错误。

最终考虑使用如下算法思想：

任意一个矩形均有4个顶点，当出现Perfect Rectangle时，在最大覆盖矩形内部，所有其它矩形的任意一个顶点均会出现偶数次（因为一个矩形旁边应当有一个或三个矩形和它紧密相连，那么这个相接的顶点就出现了偶数次）。所以，可以构建一个HashSet<String> set,以一个矩形的四个顶点的(x,y)坐标构造字符串 (x+","+y),以该字符串做键值，当set中不存在该键值时，则存入该键值；当set中存在该键值时，则删除该键值；最终set中应该只剩下四个键，这四个键即是最大覆盖矩形的四个顶点。

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Java 算法实现如下(并不正确)：

public class Solution {
    public boolean isRectangleCover(int[][] rectangles) {
		if(rectangles.length==0||rectangles[0].length==0){
			return false;
		}
		else{
			HashSet<String>set=new HashSet<>();
			int leftMost=Integer.MAX_VALUE;
			int bottomMost=Integer.MAX_VALUE;
			int rightMost=Integer.MIN_VALUE;
			int topMost=Integer.MIN_VALUE;
			int x1,y1,x2,y2;
			for(int[] rect:rectangles){
				x1=rect[0];
				y1=rect[1];
				x2=rect[2];
				y2=rect[3];
				//记录最靠边界的点的坐标
				if(x1<leftMost){
					leftMost=x1;
				}
				if(y1<bottomMost){
					bottomMost=y1;
				}
				if(x2>rightMost){
					rightMost=x2;
				}
				if(y2>topMost){
					topMost=y2;
				}
				//由当前考察的矩形的四个顶点的坐标构成的键值
				String key1=x1+","+y1;
				String key2=x1+","+y2;
				String key3=x2+","+y1;
				String key4=x2+","+y2;
				//删除那些出现了偶数次的键值
				if(set.contains(key1)){
					set.remove(key1);
				}
				else{
					set.add(key1);
				}

				if(set.contains(key2)){
					set.remove(key2);
				}
				else{
					set.add(key2);
				}

				if(set.contains(key3)){
					set.remove(key3);
				}
				else{
					set.add(key3);
				}

				if(set.contains(key4)){
					set.remove(key4);
				}
				else{
					set.add(key4);
				}
			}
			String key1=leftMost+","+bottomMost;
			String key2=leftMost+","+topMost;
			String key3=rightMost+","+bottomMost;
			String key4=rightMost+","+topMost;
			if(set.size()!=4||!set.contains(key1)||
					!set.contains(key2)||!set.contains(key3)||
					!set.contains(key4)){
				return false;
			}
			else{
				return true;
			}
		}
    }
}

结果出现如下错误：



如上数据所示，[0,0,3,3] 为最大覆盖矩形，两个[1,1,2,2]又都在其内部，且互相抵消掉了，所以该输入数据成功地避开了所有的检测，返回了不正确的答案 true。 改正方法是添加一个 long area 数据用以记录所有矩形的总面积，检测 area 是否和 (rightMost-leftMost)*(topMost-bottomMost)相等，若不等，则说明没有完全覆盖或者出现了重叠覆盖，返回 false；若相等，则做进一步判断。新代码如下：

Java算法实现：

public class Solution {
    public boolean isRectangleCover(int[][] rectangles) {
		if(rectangles.length==0||rectangles[0].length==0){
			return false;
		}
		else{
			HashSet<String>set=new HashSet<>();
			int leftMost=Integer.MAX_VALUE;
			int bottomMost=Integer.MAX_VALUE;
			int rightMost=Integer.MIN_VALUE;
			int topMost=Integer.MIN_VALUE;
			int x1,y1,x2,y2;
			long area=0;
			for(int[] rect:rectangles){
				x1=rect[0];
				y1=rect[1];
				x2=rect[2];
				y2=rect[3];
				area+=(x2-x1)*(y2-y1);//累积记录已遍历的矩形的面积
				//记录最靠边界的点的坐标
				if(x1<leftMost){
					leftMost=x1;
				}
				if(y1<bottomMost){
					bottomMost=y1;
				}
				if(x2>rightMost){
					rightMost=x2;
				}
				if(y2>topMost){
					topMost=y2;
				}
				if(area>(rightMost-leftMost)*(topMost-bottomMost)){
					//目前遍历的矩形的面积已经大于了所能覆盖的面积，则一定存在了重叠
					return false;
				}
				//由当前考察的矩形的四个顶点的坐标构成的键值
				String key1=x1+","+y1;
				String key2=x1+","+y2;
				String key3=x2+","+y1;
				String key4=x2+","+y2;
				//totalCouverCount用以记录是否出现了某个矩形完全覆盖了之前的某个矩形
				//删除那些出现了偶数次的键值
				if(set.contains(key1)){
					set.remove(key1);
				}
				else{
					set.add(key1);
				}

				if(set.contains(key2)){
					set.remove(key2);
				}
				else{
					set.add(key2);
				}

				if(set.contains(key3)){
					set.remove(key3);
				}
				else{
					set.add(key3);
				}

				if(set.contains(key4)){
					set.remove(key4);
				}
				else{
					set.add(key4);
				}
			}

			if(area!=(rightMost-leftMost)*(topMost-bottomMost)){//说明没有完全覆盖或出现了重叠覆盖
				return false;
			}

			String key1=leftMost+","+bottomMost;
			String key2=leftMost+","+topMost;
			String key3=rightMost+","+bottomMost;
			String key4=rightMost+","+topMost;
			if(set.size()!=4||!set.contains(key1)||
					!set.contains(key2)||!set.contains(key3)||
					!set.contains(key4)){
				return false;
			}
			else{
				return true;
			}
		}
    }
}

这次就成功了。