LIS问题

什么是LIS?

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最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence,LIS),在计算机科学上是指一个序列中最长的单调递增的子序列。

怎么求LIS?

O(n^2)做法

具体做法是用两个for,状态转移方程为f[i]=max(f[i],f[j]+1)其中f数组为这个位置的LIS长度,然后用max找一下最长LIS即可

代码

for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[j]<a[i])
f[i]=max(f[i],f[j]+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
ans2=max(ans2,f[i]);

其中也可以取等号

O(nlogn)做法

具体做法是用数组去维护LIS,然后如果遇到比他小的二分数组

代码

if(u[ans2]<a[i])
u[++ans2]=a[i];
else
u[lower_bound(u+1,u+ans2+1,a[i])-u]=a[i];

拓展定理(Dilworth定理)

什么是Dilworth定理?

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反链是一种偏序集,其任意两个元素不可比;而链则是一种任意两个元素可比的偏序集。Dilworth定理说明,存在一个反链A与一个将序列划分为链族P的划分,使得划分中链的数量等于集合A的基数。当存在这种情况时,对任何至多能包含来自P中每一个成员一个元#### 素的反链,A一定是此序列中的最大反链。同样地,对于任何最少包含A中的每一个元素的一个链的划分,P也一定是序列可以划分出的最小链族。偏序集的宽度被定义为A与P的共同大小。

另一种Dilworth定理的等价表述是:在有穷偏序集中,任何反链最大元素数目等于任何将集合到链的划分中链的最小数目。一个关于无限偏序集的理论指出,在此种情况下,一个偏序集具有有限的宽度w,当且仅当它可以划分为最少w条链。

对于LIS的用途

求LIS的个数就是求最长下降子序列的长度,注意其中的<之类的符号是取补集的,也就是说如果上面用的>那么反面就是<=

完整代码(洛谷模板题 P1020 导弹拦截)

O(nlogn)算法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100005],u[100005],l[100005];
bool cmp(int a,int b)
{
return a>b;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n=1;
while(cin>>a[n]) n++;
n--;
int ans1=1,ans2=1;
l[1]=u[1]=a[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(l[ans1]>=a[i])
l[++ans1]=a[i];
else
l[upper_bound(l+1,l+ans1+1,a[i],cmp)-l]=a[i];
if(u[ans2]<a[i])
u[++ans2]=a[i];
else
u[lower_bound(u+1,u+ans2+1,a[i])-u]=a[i];
}
cout<<ans1<<" "<<ans2;
}

O(n^2)算法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100010];
int f[100010];
int main()
{
int n=1;
while(cin>>a[n])
f[n++]=1;
n--;
int ans1,ans2;
ans1=ans2=-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[j]>=a[i])
f[i]=max(f[i],f[j]+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
ans1=max(ans1,f[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
f[i]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[j]<a[i])
f[i]=max(f[i],f[j]+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
ans2=max(ans2,f[i]);
cout<<ans1<<" "<<ans2;
}

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