SG定理与SG函数

一个蒟蒻来口胡$SG$函数与$SG$定理。

要是发现有不对之处望指教。

首先我们来了解一下$Nim$游戏。

$Nim$游戏是公平组合游戏的一种，意思是当前可行操作仅依赖于当前局势。

而经典$Nim$游戏是指，一个地方放了$n$堆棋子，每堆棋子数目$a_i$给定。

两人轮流操作，每次操作从一堆中拿出任意数量的棋子。即最少拿一个，最多拿完。

拿完棋子的人胜。

如果两人都执行最优决策的话，胜负在刚开局时就已经确定了。

而在最有决策下，$Nim$游戏的胜负计算方式是：

若每堆棋子数量a_1^a_2^a_3^……^a_n=0则先手负，反之先手胜。

好像很玄学，怎么证明？

假设开局时a_1^a_2^a_3^……^a_n=0，

先手取走其中一堆的一些棋子，假设在$a_1$中去，那么式子变为a_1^a_2^a_3^……^a_n=k且$k!=0$。

此时一定存在一个$a_i$，满足二进制下$a_i$在$k$的最高位为$1$。

此时只要将$a_i$变为a_i ^ k，那么这$n$个数的异或和依然为$0$。

比如，原来集合中有{2,4,6}，满足2^4^6=0;

先手拿走了6的一整堆，此时2^4^0=6;

而4与6满足性质，此时只需要让4变为4^6=2即可。

先手后手一直在拿走棋子，使得总数一直在减小，减小到的终点即0^0^0^……^0=0。

就一定是后手胜啦。

后来出题人们搞出了好多类似$Nim$游戏的博弈问题，而归根结底处理方法依然可以用异或法。

这就又衍生出了$SG$函数和$SG$定理。

先定义一下$mex$运算。

$mex$指对于一个非负整数集合不在其中的最小数。

举个例子，mex{}=0，mex{0,1,2,3}=4，mex{1,2,3,4,5}=0。

回到$SG$函数。

对于一个局势，不同的操作会产生不同的后果，产生不同的新局势。

当前局势的$SG$函数值，等于所有后继局势的$SG$函数的$mex$值。

比如说，当$Nim$游戏中只有一堆棋子时，对于每个棋子数$SG$函数计算如下：

SG[0]=mex{}=0

SG[1]=mex{0}=1

SG[2]=mex{0,1}=2

SG[3]=mex{0,1,2}=3

等等。

有什么用呢？

一个局势是$P-position$（先手必败）当且仅当其$SG$函数值为$0$。

哇好厉害啊。

接下来上$SG$定理：

对于任意有限多个公平组合游戏的组合，其$SG$函数值等于所有子游戏$SG$函数值的异或和。

能不能理解为，第一个游戏有好几堆棋子，第二个游戏有好几堆棋子……

结果整个游戏就是好几堆棋子，其$SG$函数等于所有堆的$SG$函数的异或和。

大概

就这些了。

模板靠手速，博弈靠智商

(o_o)