Codeforces603E - Pastoral Oddities

Description

初始时有$n(n\leq10^5)$个孤立的点，依次向图中加入$m(m\leq3\times10^5)$条带权无向边。使得图中每个点的度数均为奇数的边集是合法的，其权值定义为集合中的最大边权。每次加入边后，询问权值最小的合法边集的权值，不存在合法边集时输出$-1$。

Solution

存在合法边集 $\Leftrightarrow$ 每个连通块的大小均为偶数。如果某连通块大小为奇数，那么该块的总度数是奇数，但一条无向边会提供两个度数，所以不存在合法边集。如果大小为偶数，那么可以按照如下的方式构造合法边集：

求出该连通块的一棵生成树。由深到浅观察每个点$u$，如果$u$与$\{ch_u\}$的边中有偶数个在边集中，那么将边$(u,fa[u])$加入边集。

做到根的时候，因为除了根以外有奇数个度数为奇数的点，但总度数为偶数，所以根的度数必然是奇数。

该方法将每个偶数连通块划分为了若干个偶数连通块。对于划分后的每个连通块，其最小生成树就是其权值最小的合法边集。

那么现在我们可以进行操作了。首先开一个set<pair<int,int>>记录lct中的边，first记录边权，second记录边的编号。初始用$cnt$表示剩余奇数连通块的个数，在其减至$0$前一直输出$-1$。

当存在合法边集后，加入边$(u,v)$时，若$u,v$已经连通则维护最小生成树，否则在lct中连接$(u,v)$，同时维护set。

如果该边被加入lct，那么尝试获得更优答案。从set中最大的边开始，检查能否移除这条边；若能移除则移除并检查次大，不能则break。因为如果当前的最大边不能移除，答案就不会变的更优了。最后输出set中最大的边权。

时间复杂度$O(mlog(n+m))$。

Code

//Pastoral Oddities

#include <cstdio>

#include <set>

#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int,int> Ipair;

inline char gc()

{

    static char now[1<<16],*S,*T;

    if(S==T) {T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin); if(S==T) return EOF;}

    return *S++;

}

inline int read()

{

    int x=0; char ch=gc();

    while(ch<'0'||'9'<ch) ch=gc();

    while('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();

    return x;

}

int const N=4e5+10;

int const INF=0x3F3F3F3F;

int n,m;

struct edge{int u,v;} ed[N];

set<Ipair> st;

int fa[N],ch[N][2],siz[N],isiz[N];

int val[N],maxL[N]; bool rev[N];

int wh(int p) {return p==ch[fa[p]][1];}

int notRt(int p) {return p==ch[fa[p]][wh(p)];}

void update(int p)

{

    int ch0=ch[p][0],ch1=ch[p][1];

    siz[p]=siz[ch0]+1+siz[ch1]+isiz[p];

    int maxP=max(val[p],max(val[maxL[ch0]],val[maxL[ch1]]));

    if(val[p]==maxP) maxL[p]=p;

    else if(val[maxL[ch0]]==maxP) maxL[p]=maxL[ch0];

    else if(val[maxL[ch1]]==maxP) maxL[p]=maxL[ch1];

}

void pushdw(int p) {if(rev[p]) swap(ch[p][0],ch[p][1]),rev[ch[p][0]]^=1,rev[ch[p][1]]^=1,rev[p]=false;}

void rotate(int p)

{

    int q=fa[p],r=fa[q],w=wh(p);

    fa[p]=r; if(notRt(q)) ch[r][wh(q)]=p;

    fa[ch[q][w]=ch[p][w^1]]=q;

    fa[ch[p][w^1]=q]=p;

    update(q),update(p);

}

void pushRt(int p) {if(notRt(p)) pushRt(fa[p]); pushdw(p);}

void splay(int p)

{

    pushRt(p);

    for(int q=fa[p];notRt(p);rotate(p),q=fa[p]) if(notRt(q)) rotate(wh(p)^wh(q)?p:q);

}

void access(int p) {for(int q=0;p;q=p,p=fa[p]) splay(p),isiz[p]+=siz[ch[p][1]]-siz[q],ch[p][1]=q,update(p);}

void makeRt(int p) {access(p),splay(p),rev[p]^=1;}

void path(int p,int q) {makeRt(p),access(q),splay(q);}

void link(int i)

{

    int p=ed[i].u,q=ed[i].v; makeRt(p),makeRt(q);

    fa[p]=n+i,isiz[n+i]+=siz[p]; update(n+i);

    fa[n+i]=q,isiz[q]+=siz[n+i]; update(q);

}

void clear(int p) {fa[p]=ch[p][0]=ch[p][1]=0,isiz[p]=0; update(p);}

void cut(int i)

{

    int p=ed[i].u,q=ed[i].v; path(p,q);

    fa[p]=ch[p][1]=0; ch[q][0]=0;

    clear(n+i); update(p),update(q);

}

int find(int p) {access(p),splay(p); while(ch[p][0]) p=ch[p][0]; return p;}

int odd(int p) {return siz[p]+1>>1&1;}

int main()

{

    n=read(),m=read();

    for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=-INF,update(i);

    for(int i=1,cnt=n;i<=m;i++)

    {

        int u=read(),v=read(),w=read();

        ed[i].u=u,ed[i].v=v; val[n+i]=w,maxL[n+i]=n+i;

        if(find(u)==find(v))

        {

            path(u,v); int id=maxL[v]-n,w0=val[id+n];

            if(w<w0) cut(id),link(i),st.erase(make_pair(w0,id));

            else {printf("%d\n",cnt?-1:st.rbegin()->first); continue;}

        }

        else

        {

            makeRt(u),cnt-=odd(u); makeRt(v),cnt-=odd(v);

            link(i),cnt+=odd(v);

        }

        st.insert(make_pair(val[i+n],i));

        if(cnt) {puts("-1"); continue;}

        while(true)

        {

            int id=st.rbegin()->second; u=ed[id].u,v=ed[id].v;

            path(u,v); if(odd(u)) break;

            cut(id); st.erase(*st.rbegin());

        }

        printf("%d\n",st.rbegin()->first);

    }

    return 0;

}

P.S.

第一次用set，不大懂...%%%zhx