Luogu P2051[AHOI2009]中国象棋【dp】By cellur925

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题目大意：给定一个$n*m$的棋盘，求放三个“炮”使它们不共行也不共列的方案数。（$n,m$$<=100$）

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这题主要是转移比较困难，因为情况比较多，所以需要冷静大胆细心地进行分情况讨论。

首先我们还是设计出状态：设$f[i][j][k]$表示前$i$行，放1枚棋子的有$j$列，放2枚棋子的有$k$列的方案数。

我们这样思考：放几个？放在哪？

• 在第$i$行不放棋子。显然我们可以由$f[i-1][j][k]$转移过来。

(f[i][j][k]+=f[i-][j][k])%=moder;

• 在第$i$行放1个棋子。有两个位置可以选择（放1个棋子的列，没放过棋子的列）
  • 放在之前有一个棋子的列，那么有一个棋子的列数变少，有两个棋子的列数变多。那么我们回到之前的状态，可以从$f[i-1][j+1][k-1]$转移来，而根据容斥的思想，我们有$(j+1)$个列可供选择。

if(k->=) (f[i][j][k]+=f[i-][j+][k-]*(j+))%=moder;

• • 放在之前没有棋子的列，那么有一个棋子的列数变多，之前可转移来的状态是$f[i-1][j-1][k]$。同理，我们有$(m-(j-1)-k)$个位置可以选择。

if(j->=) (f[i][j][k]+=f[i-][j-][k]*(m-k-j+))%=moder;

• 在第$i$行放2个棋子。
  • 两个都放在不相同的没有棋子的列，那么有一个棋子的列数变多。之前可转移来的状态是$f[i-1][j-2][k]$。在空的列数中选2个，用到了组合数。

if(j->=) (f[i][j][k]+=f[i-][j-][k]*C(m-k-j+))%=moder;

• • 两个都放在不相同的已有一个棋子的列，那么有一个棋子的列数变少，有两个棋子的列数变多。之前可转移来的状态是$f[i-1][j+2][k-2]$。同样要用到组合数。

if(k->=) (f[i][j][k]+=f[i-][j+][k-]*C(j+))%=moder;

• • 两个棋子，一个放在已有一个棋子的列，一个放在没有棋子的列，那么有一个棋子的列数减一再加一相当于没变，有两个棋子的列数增多。并运用乘法原理。

if(k->=) (f[i][j][k]+=f[i-][j][k-]*j*(m-j-k+))%=moder;

列出了转移方程，我们的代码也就写完了（雾）。

Code

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>

 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const ll moder=;

 int n,m;
 ll ans,f[][][];

 ll C(int x)
 {
     return (x*(x-))>>;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     f[][][]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=m;j++)
             for(int k=;k<=m-j;k++)
             {
                 (f[i][j][k]+=f[i-][j][k])%=moder;
                 if(k->=) (f[i][j][k]+=f[i-][j+][k-]*(j+))%=moder;
                 if(j->=) (f[i][j][k]+=f[i-][j-][k]*(m-k-j+))%=moder;
                 if(k->=) (f[i][j][k]+=f[i-][j][k-]*j*(m-j-k+))%=moder;
                 if(k->=) (f[i][j][k]+=f[i-][j+][k-]*C(j+))%=moder;
                 if(j->=) (f[i][j][k]+=f[i-][j-][k]*C(m-k-j+))%=moder;
             }
     for(int j=;j<=m;j++)
         for(int k=;k<=m-j;k++)
             (ans+=f[n][j][k])%=moder;
     printf("%lld",ans);
     return ;
 }

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转移的时候我竟然想，为什么没有“两个棋子放在同一个之前没放到的列”这种情况。后来才意识到，我们每次面对的，是一行，其实是一个向量，（一维数组）。每一列只能放一颗棋子...

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