P11233 [CSP-S 2024] 染色题解

零.背景：

本人在考场上想出正解，因为一些奇怪的心态问题，并没有写代码(详细内容见本人CSP-J/S游记中所描述的)，以写一篇题解，特此纪念。

一.状态定义与分析：

抓住题目的重点就是有颜色，有贡献(即值与值之间的累加),

所以考虑定义状态 $dp_{i,j}(j\in\{0,1\})$ ,表示在第 $i$ 位填入颜色 $j$ 可以获得的最大贡献。所以可以很自然的得到如下方程(以颜色0为例)：

\[dp_{i,0} = max\{dp_{i-1,0},dp_{i-1,1},dp_{j+1,1}+a_{i}+s_{i-1}-s_{j+1}\}
\]

我们定义：$s_{i}$ 表示将区间 $[1,i]$ 染成同一种颜色可以获得的贡献，所以这是可以用前缀和预处理的。

前两个从 $i-1$ 转移过来的部分其实就是表示不选前面相等的数所带来的最大贡献，所以最终的转移是 $O(n^{2})$ 的，可以得到50分。

二.考虑优化：

如果你实在没法发现规律的话，你也可以通过上述方法输出dp值找规律，而这道题，其实只需要从离 $a_{i}$ 最近的下标$j$使得 $(a_{i}=a_{j})$ 转移就可以了，这样从逻辑上也是说的通的，因为只有这样，我们才能把前面的最优状态是否选择全都包含完(发现没，又回到DP的本质了，无后效性，上一个状态一定能包含前面局面的整体最优，我们只需要考虑当前决策就可以了，dp真的很神奇)。

所以我们定义一个 $last_{i}$ 表示最近的与 $a_{i}$ 相同的元素的下标，所以方程优化为：

\[dp_{i,0} = max\{dp_{i-1,0},dp_{i-1,1},dp_{last_{i}+1,1}+a_{i}+s_{i-1}-s_{last_{i}+1}\}
\]

那怎么得到这样一个 $last$ 数组呢？观察数据范围可以发现 $a_{i}\le1e6$ 可以开一个桶(value数组)去存当前的最新值，即每次循环按如下方式更新：

\[last_{i}=value_{a_{i}}
\]

\[value_{a_{i}}=i
\]

所以又可以 $O(n)$ 处理 $O(1)$ 查询了,所以最后整个问题就被我们在 $O(n)$ 的复杂度下解决了。真的不能再做一些小优化了吗，其实是可以的，如果我们思考填颜色这个过程，你会发现，蓝色与红色的填色过程本质上是完全对称等价的(输出也可以验证这一点)，所以我们可以完全优化成为一个标标准准的一维线性dp。到此整道题本人的完整思路已经结束，接下来就是看代码实现了(其实并不复杂)。

三.代码实现：

代码仅供理解算法过程做参考，切勿复制。(码风良好，可读性强)

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<vector>

#define int long long

inline int read() {

	int x=0,f=1;char ch=getchar();

	while(ch > '9' || ch < '0'){if(ch == '-'){f = -1;}ch = getchar();}

	while(ch >= '0'&&ch <= '9'){x = x * 10 + ch - 48; ch = getchar();}

	return x * f;

}

template <typename type>

inline void write(type x)

{

	if (x < 0) putchar('-'), x = -x;

	if (x > 9) write(x / 10);

	putchar(x % 10 + 48);

	return;

}

const int N = 2e5 + 10;

const int M = 1e6 + 10;

int n,T,a[N],s[N],dp[N],last_same[N],val[M];

signed main()

{

	T = read();

	while(T--){

		n = read();

		for(int i = 1;i <= n;++i) {

			a[i] = read();

			val[a[i]] = -1;

		}

		for (int i = 1;i <= n;++i) {

			last_same[i] = val[a[i]];

			val[a[i]] = i;

			s[i] = s[i - 1];

			if(a[i] == a[i - 1]) s[i] += a[i];

		}

		for(int i = 1;i <= n;++i){

			dp[i] = dp[i - 1];

			if(last_same[i] != -1){

				if(last_same[i] == i - 1) dp[i] += a[i];

				else dp[i] = std::max(dp[i],dp[last_same[i] + 1] + a[i] + s[i - 1] - s[last_same[i] + 1]);

			}

		}

		write(dp[n]);

		putchar('\n');

	}

	return 0;

}