题解：P1763 埃及分数

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先放上代码，然后再讲解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll deep,s[11],ans[11],flag,a,b;
ll gcd(ll x,ll y){
	if(y==0)return x;
	else return gcd(y,x%y);
}
void dfs(ll a,ll b,int x){
	if(x>deep)return;
	if(a==1&&b>s[x-1]){
		s[x]=b;
		if(!flag||s[x]<ans[x])memcpy(ans,s,sizeof(ll)*(deep+1));
		flag=1;
		return;
	}
	ll l=max(b/a+1,s[x-1]+1);
	ll r=(deep-x+1)*b/a;
	if(flag&&r>=ans[deep])r=ans[deep]-1;
	for(ll i=l;i<r;i++){
		s[x]=i;
		ll gcdd=gcd(a*i-b,b*i);
		dfs((a*i-b)/gcdd,b*i/gcdd,x+1);
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>a>>b;
    ll g=gcd(a,b);
    a/=g,b/=g;
	for(deep=1;deep<=10;deep++){
		dfs(a,b,1);
		if(flag){
			for(int i=1;i<=deep;i++)cout<<ans[i]<<' ';
			return 0;
		}
	}
}

代码中有一个全局变量 \(deep\)，用来规定搜索深度的上限。将其设为全局变量是为了方便跨函数调用（设成函数参数也可以）。

接下来就是 dfs 函数来深搜，其中有一个变量 \(x1\) 表示搜索深度。函数中如果当前面的搜索深度大于规定搜索深度 \(deep\)，则直接返回，表示在当前规定搜索深度下，此状态一定不能到达搜索目标状态。

在主函数中，从小到大枚举深度界限 \(deep\)，每次让深度界限增加 \(1\)，并调用 dfs 函数，在新的深度界限下再次搜索。当 dfs 搜索到目标时后不再继续增加深度界限，此时 \(deep\) 的值就能搜到的答案的最小深度。

但是，众所周知单单就这样写代码 hack 会 TLE（即上面刚刚的代码不能 AC！

所以我们还需要优化：

首先很容易发现暴力枚举每个位置的分母还是太慢了。我们可以发现，当搜到最后两个分母时，我们没有必要枚举，而是可以直接把最后两项分母列方程解出来，这样会比枚举快很多。那现在我们设最后两项分母为 \(x\) 和 \(y\)，其中 \(x<y\) ，它们的总和是 \(\frac{a}{b}\)， 即：\(\frac{a}{b}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\)。

因为 \(a\) 和 \(b\) 是互质的，等式要是有整数解，则存在一个整数 \(k\) 满足：\(\frac{x+y}{xy}=\frac{ak}{bk}\)，则有：

\[\left\{\begin{matrix}x+y=ak
\\
xy=bk
\end{matrix}\right.\]

把 \(y\) 消掉以后，有：\(x^2-akx+bk=0\)。

这个方程要是有解，则判别式为：\(\Delta =a^2k^2-4bk≥0\) 满足这个条件的话，则：$k≥\left \lceil \frac{4b}{a^2} \right \rceil $。

因此我们可以枚举 \(k\)，找到某个 \(k\) 使得 \(\sqrt{\Delta}\) 为整数，此时两个解分别为：

\[\left\{\begin{matrix}x=\frac{ak-\sqrt{\Delta}}{2}
\\
y=\frac{ak+\sqrt{\Delta}}{2}
\end{matrix}\right.\]

要求这两个数也必须是整数，且 \(y\) 要小于等于求出过的最后一项的分母，或者小于 \(10^7\)。如果 \(y\) 大于 \(10^7\) 可直接 break。

好了，这就是优化思路，最后我放上求最后两项分母的代码：

if(x1==deep-1){
    ll minK=ceil(sqrt(4*b/(a*a)));
		for(ll k=minK;;k++){
			ll delta=a*a*k*k-4*b*k;
			ll t=sqrt(delta),gd=-1;
			if(t*t==delta)gd=t;
			else if((t-1)*(t-1)==delta)gd=t-1;
			else if((t+1)*(t+1)==delta)gd=t+1;
			ll x=(a*k-gd)/2;
			ll y=(a*k+gd)/2;
			if(y>1e7||(flag&&y>=ans[deep]))break;
			if(gd<=0||(a*k-gd)%2!=0)continue;
			s[deep-1]=x;
			s[deep]=y;
			memcpy(ans,s,sizeof(ll)*(deep+1));
			flag=1;
			break;
		}
		return;
	}