【2022noip多校】异或

【题目描述】

对于一个元素介于 $[0,2^m)$ 且互不相同的长度为 $n$ 的序列 $a_1, a_2 ...,a_n$ ，定义它的特征序列为 $p_0,p_1,...,p_{2^m-1}$ ，其中 $p_i$ 表示使得 $a_{p_i}$ 与 $i$ 的异或值最大的下标。

形式化地，定义 $ p_i=\arg \max\limits_{1<=j<=n} a_j \oplus i $

给定一个特征序列 $p$ ，求有多少个满足要求的原序列 $a$ 可以得到这个特征序列。

答案对 $10^9+7$ 取模

【样例】

【样例输入1】

6 3

1 1 2 2 3 4 5 6

【样例输出1】

【解析】

首先明确，合法的 $p$ 中，必定出现完整的 $[1,n]$

将$[0,2^m-1)$ 的二进制形式依次写出（取 $m=3$ ）

000 001 010 011 100 101 110 111

发现每次取一半，在第 $k$ 次时，会使从高到底第 $k$ 为发生 $0,1$ 分割

所以考虑分治：

设状态 $[l,r]$ 表示在 $[l,r]$ 中，任意 $a_{p_i} \oplus i$ 的前 $dep$ 位相同， $dep$ 表示分治深度。

其实这也代表了 $a_{p_i}$ 前 $dep$ 位相同，这个可以从之前的例子中看出。

接下来考虑下一层：

若集合 $p_{l,..,mid}=p_{mid+1,..,r}$ 则表示下一位这两边也相同，则将方案数乘二，问题规模减半
若集合 $p_{l,..,mid}!=p_{mid+1,..,r}$ 则代表下一位不同，且可以得出 $a_{l,..,mid}$ 的 $dep$ 位一定为 $1$ ， $a_{mid+1,..,r}$ 的 $dep$ 位一定为 $0$，因为要保持最大且左区间的 $dep$ 位均为 $0$ ，右区间均为 $1$ 所以有以上结论。之后这两种情况就独立了，乘法原理直接乘起来就可以了。

考虑无解，即集合 $p_{l,..,mid}!=p_{mid+1,..,r}$ 但 $p_{l,..,mid}\cap p_{mid+1,..,r}!=\varnothing$ 就无解。

【CODE】

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

using namespace std;

const ll maxn = (1<<16)+33;

inline ll read_int(){

	ll a=0;bool f=0;char g=getchar();

	while(g<'0'||'9'<g) {if(g=='-') f=1;g=getchar();}

	while('0'<=g&&g<='9') a=a*10+g-'0',g=getchar();

	return f ? -a : a;

}

inline void write(ll a,bool b=1){

	if(a<0) a=-a,putchar('-');

	ll lin[30],top=0;

	while(a) lin[++top]=a%10,a/=10;

	if(top==0) lin[++top]=0;

	while(top) putchar(lin[top--]+'0');

	if(b) putchar('\n');

}

ll n,m,mod=1e9+7;

ll sj[maxn];

ll vis[maxn];

inline ll fz(ll l,ll r){

    // cout<<l<<" "<<r<<endl;

    if(l==r) return 1;

    ll mid=(l+r)>>1;

    int bt=0,xd=0;

    set<int> a,b;

    int f=0;

    for(int i=l;i<=mid;i++) a.emplace(sj[i]);

    for(int i=mid+1;i<=r;i++) b.emplace(sj[i]),f= (f||(a.find(sj[i])!=a.end()) ? 1 : 0);

    if(f&&a!=b) return 0;

    if(a==b) return (ll)2*fz(l,mid)%mod;

    else return fz(l,mid)*fz(mid+1,r)%mod;

}

inline void read(){

    n=read_int(),m=read_int();

    for(int i=1;i<=(1<<m);i++) sj[i]=read_int(),vis[sj[i]]=1;

    for(int i=1;i<=n;i++){

        if(vis[i]==0) {write(0);return;}

    }

    write(fz(1,(1<<m)));

}

int main (){

    // freopen(".out","w",stdout);

    read();

    // while(1) getchar();

}

【后记】

如有大佬知道之前那个合法的 $p$ 中必有 $[i,n]$ 是如何证明的，请留言