ARC133D Range XOR

题目链接：【ARC133D】 Range XOR

非常好数位 dp。

思路

根据异或的前缀和，我们可以把式子化成这样。

\[\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r [s_j\oplus s_{i-1}==v]
\]

然后先去掉 $l \leq r$ 的限制。

\[\sum_{i=l-1}^{r-1}\sum_{j=l}^r [s_j\oplus s_i==v]
\]

但是这个玩意没有对称性，很蛋疼，先把区间拉平。

\[\sum_{i=l-1}^r\sum_{j=l-1}^r [s_j\oplus s_i==v]
\]

然后考虑这个式子多算的部分，发现多算的只有 $i=j$ 的情况和 $(i,j)$ 与 $(j,i)$ 算了 $2$ 次。

把 $i=j$ 的部分减去后再除以 $2$ 就可以得到要的东西。

设

\[S(n,m)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m[s_i\oplus s_j==v]
\]

最后我们想要求的东西是

\[\sum_{i=l-1}^r\sum_{j=l-1}^r [s_j\oplus s_i==v]=S(r,r)-2S(l-2,r)+S(l-2,l-2)
\]

由于 $S(r,l-2)=S(l-2,r)$。

这样子还是很不友好，我们观察一下 $s_i$ 的性质。

我们会发现

\[s_0=0\\
s_1=1\\
s_2=3\\
s_3=0\\
s_4=4\\
s_5=1\\
s_6=7\\
s_7=0\\
\cdots
\]

显然有规律：

\[s_i=\begin {cases}
i\ \ \ \ \ \ \ \ \ i \equiv 0\ (\mod 4)\\
1\ \ \ \ \ \ \ \ \ i \equiv 1\ (\mod 4)\\
i+1\ \ \ i \equiv 2\ (\mod 4)\\
0\ \ \ \ \ \ \ \ \ i \equiv 3\ (\mod 4)\\
\end{cases}
\]

可以使用数学归纳法证明，证明比较简单，留给读者自行思考。

如果 $i\equiv 1,3(\mod 4)$ 或 $j \equiv 1,3 (\mod 4)$ 的话，$s_i$ 或 $s_j$ 为常量，直接算就好。

我们先把后两位确定下来，接着删除末两位，消除模 $4$ 的限制。

剩下的等价求

\[\sum_{i=0}^{\lfloor n/4 \rfloor} \sum_{j=0}^{\lfloor m/4 \rfloor} [l \oplus r == \lfloor v/4 \rfloor]
\]

这里可以考虑先枚举最后两位，如果是 $1$ 或 $3$ 可以直接乘一个常量，如果是 $2$ 或 $0$ 可以用数位 dp 来解决这个问题。

时间复杂度大概是 $O(\log n)$。

CODE

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

const ll mod=998244353;

const int maxn=65,kL=60;

ll l,r,v;

ll f[maxn][2][2];

ll kB[4]={0,1,3,0};

ll S(ll i,ll n,ll ln,ll m,ll lm,ll v)

{

    if(i==-1) return 1;

    ll &fs=f[i][ln][lm];

    if(~fs) return fs;

    fs=0;

    for(ll kn=0,vn=(ln?(n>>i&1):1);kn<=vn;kn++)

    {

        for(ll km=0,vm=(lm?(m>>i&1):1);km<=vm;km++)

        {

            if((kn^km)==(v>>i&1)) fs=(fs+S(i-1,n,ln&&kn==vn,m,lm&&km==vm,v))%mod;

        }

    }

    return fs;

}

ll bS(ll n,ll m,ll v)

{

    memset(f,-1,sizeof(f));

    return S(kL-1,n,1,m,1,v);

}

ll S1(ll n,ll m)

{

    if(n<0||m<0) return 0;

    ll s=0;

    for(ll i=0;i<4;i++)

    {

        for(ll j=0;j<4;j++)

        {

            ll w=(v^kB[i]^kB[j]);

            if(w&3) continue;

            ll ci=(n>>2)-((n&3)<i);

            ll cj=(m>>2)-((m&3)<j);

            s=(s+bS((i&1)?0:ci,(j&1)?0:cj,w>>2)*((i&1)?(ci+1)%mod:1)%mod*((j&1)?(cj+1)%mod:1)%mod)%mod;

        }

    }

    return s;

}

ll S2(ll l,ll r)

{

    return ((S1(r,r)-2*S1(l-1,r)+S1(l-1,l-1))%mod+mod)%mod;

}

int main()

{

    scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&v);

    printf("%lld",(S2(l-1,r)-(v==0)*(r-l+2)%mod+mod)*(mod+1)/2%mod);

}