Delaunay Triangle 学习1

简介

三角化

参考链接

https://www.cnblogs.com/zhiyishou/p/4430017.html

三角化

求一个二维的三角形的面积也可以通过这个方法

首先要保证逆时针方向，三角形点的分布。

\[S_{K}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}
x_{2}-x_{1} & x_{3}-x_{1} \\
y_{2}-y_{1} & y_{3}-y_{1}
\end{array}\right|
\]

举个例子

    BMesh::Point2D a(0,0);
    BMesh::Point2D b(1,0);
    BMesh::Point2D c(0,1);
    Eigen::Matrix2d cc;
    cc << (b.x - a.x), (c.x - a.x),
         (b.y - a.y), (c.y - a.y);
    std::cout << "[DEBUG] area of a triangle " << 0.5 * cc.determinant() << std::endl;

理论解释

向量的叉乘就是平行四边形的面积然后你懂得。

求解外接圆的坐标

求解一个方程

\[\left(\begin{array}{ll}
x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} \\
x_{3}-x_{2} & y_{3}-y_{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_{C} \\
y_{C}
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}
\left(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\right)-\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) \\
\left(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\right)-\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)
\end{array}\right)
\]

直接求解圆心使用公式

\[r_{K}=\frac{L_{1} L_{2} L_{3}}{4 S_{K}}
\]

\(L_i\) 是边界的长度。

\(S_K\) 是三角形的面积。

内切圆的半径是

\[\rho_{K}=\frac{S_{K}}{p_{K}}
\]

\(p_{K}\) 是三角形的半周长

\(\rho_{K}\) 是三角形内切圆的半径

三角形网格的质量

\[Q_{K}=\alpha \frac{h_{\max }}{\rho_{K}}=\alpha \frac{h_{\max } p_{K}}{S_{K}}
\]

其中

\(\alpha = \frac {\sqrt{3}}{6}\)

,

\(h_{max}\)是三角形的最长的边。

\(P_{K}\)是其内切圆的半径。

其上值从1开始到无穷。等边三角形逻辑上是无穷。为了返回从0-1开始的测量质量。所以

\[Q_K=\beta\frac{h^2_s}{S_K}
\]

其中\(\beta\)是一个标准化的因子表示一个单位质量对于一个等边三角形\(\beta = \frac{\sqrt{3}}{12}\)

其中，\(h_s = \sqrt{\sum^3_{i=1}L_i^2}\)

\(L_i\)表示三角形边的长度。

缺点，在不好的三角形不明感，尤其是在三维空间中